Systèmes à deux corps
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En appliquant le théorème du vecteur unitaire tournant, il est facile de voir que la vitesse
du point M est donnée par :
− → v =
d
−−−→
M 1 M 2
d t
=
d r − → u r
d t
= ˙ r − → u r + r ˙
u − → u u
(9.5)
Le moment cinétique du système est donc égal à :
− →
L = − → r ∧ m − → v M2/M1 = r − → u r ∧ m(˙ r − → u r + r ˙
u − → u u )
− →
L = mr
2 ˙
u
− →
k
Nous avons montré que ce moment est constant, ce qui entraîne que la quantité :
r
2 ˙
u =
L
m
= C
est constante. La constante C est appelée constante des aires . En effet, elle a une signification géométrique liée à l’aire balayée par le point M au cours de son mouvement. La
figure 9.9 met en évidence que cette quantité représente deux fois l’aire balayée par unité
de temps par le point M entre les instants t et t + d t. On a ainsi :
C = r
2 d u
d t
= 2
d A
d t
M
(t)
M
(t+dt)
r
θ
d
rdθ
O
Trajectoire
H
Figure 9.9 • L’aire élémentaire dA balayée par le rayon OM pendant la durée
dt est assimilable à l’aire du triangle OMM
qui est égale à
1
2 (OM
)(MH) =
1
2 (r + dr)rdu. Au premier ordre, par rapport aux infiniment
petits dr et du (grossis volontairement sur le schéma), on obtient
1
2 r
2 du. Cela
revient à négliger la surface du triangle HMM
devant celle du triangle OMH.
L’aire élémentaire d A/d t balayée par le point M est constante au cours du temps ; l’aire
totale balayée par le point M varie donc linéairement dans le temps.
4.2. Énergie mécanique
Nous avons défini au chapitre 7 l’énergie potentielle de deux masses m 2 et m 1 en interaction gravitationnelle. Lorsque le zéro de l’énergie potentielle est pris à l’infini, l’expression
de l’énergie potentielle est donnée par :
E P = −G
m 1 m 2
r