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Mécanique du point
Remarques :
• Le fait que le point fictif M soit soumis à la force
− →
F 2 vient du choix des grandeurs
relatives − → r = − → r 2 − − → r 1 et − → v = − → v 2 − − → v 1 (vitesse de M 2 par rapport à M 1 ). Le choix
contraire ( − → r = − → r 1 − − → r 2 ) nécessiterait l’application de la force
− →
F 1 sur la particule
fictive M. Il faut donc bien préciser les notations choisies.
• Pour connaître la trajectoire des deux masses réelles m 1 et m 2 , il suffit d’appliquer les
homothéties suivantes : − → r 1 = −m − → r /m 1 et − → r 2 = m − → r /m 2 .
• Lorsque le système est constitué de deux masses de même ordre de grandeur, il est
impératif d’utiliser le formalisme précédent pour étudier le mouvement ;
• Lorsque l’une des deux masses est beaucoup plus grande que l’autre (m 1 m 2 ), le
barycentre du système se trouve au centre de la masse la plus grande ce qui conduit à
r 1 = 0 et r 2 = r. La plus grosse masse est alors immobile et le système se réduit à la
masse la plus faible (m = m 2 ) ;
Exemples :
• Étude d’un satellite de la Terre : m 1 = M T m 2 = m satellite . Le centre d’inertie du
système {Terre, satellite} est au centre de la Terre. Dans le référentiel barycentrique
(qui correspond donc au référentiel géocentrique) la Terre est immobile et le satellite
est en mouvement par rapport à la Terre. La masse réduite est la masse du satellite et
la force est la force de gravitation qu’exerce la Terre sur le satellite.
• Étoiles doubles : cas où 2 étoiles sont suffisamment proches pour interagir. Leur masse
étant équivalente, il faut utiliser le formalisme de la masse réduite. On constate alors
que les deux astres tourne autour de leur centre d’inertie.
4. PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT
4.1. Loi des aires
La conservation du moment cinétique des deux masses permet de définir une propriété
nouvelle du mouvement. Nous étudions maintenant le mouvement du point matériel fictif
M affecté de la masse m dans le référentiel galiléen R(O, x, y, z, t) avec comme base d’étude
la base mobile ( − → u r , − → u u , − → u z ), comme l’indique la figure 9.8.
θ
x
y
z
cste
L =
r
u
θ
u
F
μ
O
M
r
→
→
→
→
Figure 9.8 • Mouvement de la masse réduite dans le référentiel galiléen (O, x, y, z, t).
Mécanique du point
Remarques :
• Le fait que le point fictif M soit soumis à la force
− →
F 2 vient du choix des grandeurs
relatives − → r = − → r 2 − − → r 1 et − → v = − → v 2 − − → v 1 (vitesse de M 2 par rapport à M 1 ). Le choix
contraire ( − → r = − → r 1 − − → r 2 ) nécessiterait l’application de la force
− →
F 1 sur la particule
fictive M. Il faut donc bien préciser les notations choisies.
• Pour connaître la trajectoire des deux masses réelles m 1 et m 2 , il suffit d’appliquer les
homothéties suivantes : − → r 1 = −m − → r /m 1 et − → r 2 = m − → r /m 2 .
• Lorsque le système est constitué de deux masses de même ordre de grandeur, il est
impératif d’utiliser le formalisme précédent pour étudier le mouvement ;
• Lorsque l’une des deux masses est beaucoup plus grande que l’autre (m 1 m 2 ), le
barycentre du système se trouve au centre de la masse la plus grande ce qui conduit à
r 1 = 0 et r 2 = r. La plus grosse masse est alors immobile et le système se réduit à la
masse la plus faible (m = m 2 ) ;
Exemples :
• Étude d’un satellite de la Terre : m 1 = M T m 2 = m satellite . Le centre d’inertie du
système {Terre, satellite} est au centre de la Terre. Dans le référentiel barycentrique
(qui correspond donc au référentiel géocentrique) la Terre est immobile et le satellite
est en mouvement par rapport à la Terre. La masse réduite est la masse du satellite et
la force est la force de gravitation qu’exerce la Terre sur le satellite.
• Étoiles doubles : cas où 2 étoiles sont suffisamment proches pour interagir. Leur masse
étant équivalente, il faut utiliser le formalisme de la masse réduite. On constate alors
que les deux astres tourne autour de leur centre d’inertie.
4. PROPRIÉTÉS DU MOUVEMENT
4.1. Loi des aires
La conservation du moment cinétique des deux masses permet de définir une propriété
nouvelle du mouvement. Nous étudions maintenant le mouvement du point matériel fictif
M affecté de la masse m dans le référentiel galiléen R(O, x, y, z, t) avec comme base d’étude
la base mobile ( − → u r , − → u u , − → u z ), comme l’indique la figure 9.8.
θ
x
y
z
cste
L =
r
u
θ
u
F
μ
O
M
r
→
→
→
→
Figure 9.8 • Mouvement de la masse réduite dans le référentiel galiléen (O, x, y, z, t).