Systèmes à deux corps
235
Pour un mouvement à force centrale, la trajectoire est contenue dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique constant.
G
M 1
M 2
M 1 ’
M 2 ’
x
y
z
*
L
(R*)
Figure 9.6 • La trajectoire de M 1 et M 2 est dans un plan perpendiculaire
au moment cinétique L* exprimé dans le référentiel barycentrique.
3.4. Réduction du système à 2 corps : masse réduite ou masse fictive
Nous avons vu que le mouvement des deux masses est un mouvement plan pour lequel il
y a conservation du moment cinétique. Le mouvement est caractérisé dans le référentiel
barycentrique par les éléments cinétiques suivants :
− →
p
∗
2 = m − → v = −
− →
p
∗
1
− →
L
∗ = m − → r ∧ − → v
m
d
2− → r
dt 2 = −
− →
F 1 =
− →
F 2
E
∗
C =
1
2
mv
2
Le mouvement des deux masses M 1 et M 2 dans le référentiel barycentrique est déterminé par la connaissance, en fonction du temps, des vecteurs positions − → r 1 =
− − →
GM 1 et
− → r 2 =
− − →
GM 2 . Pour cela il suffit de déterminer le vecteur − → r =
−−−→
M 1 M 2 . On constate alors que
le problème se résume à l’étude du mouvement d’un point matériel fictif M de masse m repéré dans un référentiel galiléen (muni d’une origine O) par le vecteur position − → r =
−→
OM,
se déplaçant à la vitesse
d −
→ r
dt
= − → v et subissant une force centrale
− →
f =
− →
F 2 . Cela signifie
que le problème à deux corps a été réduit à un problème à un seul corps de masse m appelé
masse réduite du système(figure 9.7).
M 1
M 2
G
(
*
R )
x
y
z
r 2
r 1
2
F
*
L
2
F
F
=
r
m
M
y
z
O
x
*
L
v
2
1 M
M
r
=
=
OM
Figure 9.7 • Système à deux corps équivalent à un système à un corps
de masse m soumis à une force centrale.
235
Pour un mouvement à force centrale, la trajectoire est contenue dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique constant.
G
M 1
M 2
M 1 ’
M 2 ’
x
y
z
*
L
(R*)
Figure 9.6 • La trajectoire de M 1 et M 2 est dans un plan perpendiculaire
au moment cinétique L* exprimé dans le référentiel barycentrique.
3.4. Réduction du système à 2 corps : masse réduite ou masse fictive
Nous avons vu que le mouvement des deux masses est un mouvement plan pour lequel il
y a conservation du moment cinétique. Le mouvement est caractérisé dans le référentiel
barycentrique par les éléments cinétiques suivants :
− →
p
∗
2 = m − → v = −
− →
p
∗
1
− →
L
∗ = m − → r ∧ − → v
m
d
2− → r
dt 2 = −
− →
F 1 =
− →
F 2
E
∗
C =
1
2
mv
2
Le mouvement des deux masses M 1 et M 2 dans le référentiel barycentrique est déterminé par la connaissance, en fonction du temps, des vecteurs positions − → r 1 =
− − →
GM 1 et
− → r 2 =
− − →
GM 2 . Pour cela il suffit de déterminer le vecteur − → r =
−−−→
M 1 M 2 . On constate alors que
le problème se résume à l’étude du mouvement d’un point matériel fictif M de masse m repéré dans un référentiel galiléen (muni d’une origine O) par le vecteur position − → r =
−→
OM,
se déplaçant à la vitesse
d −
→ r
dt
= − → v et subissant une force centrale
− →
f =
− →
F 2 . Cela signifie
que le problème à deux corps a été réduit à un problème à un seul corps de masse m appelé
masse réduite du système(figure 9.7).
M 1
M 2
G
(
*
R )
x
y
z
r 2
r 1
2
F
*
L
2
F
F
=
r
m
M
y
z
O
x
*
L
v
2
1 M
M
r
=
=
OM
Figure 9.7 • Système à deux corps équivalent à un système à un corps
de masse m soumis à une force centrale.