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Mécanique du point
3.3. Conservation du moment cinétique
L’équation fondamentale de la dynamique est généralement utilisée pour traduire le mouvement de translation du système. Une grandeur très utile pour appréhender le mouvement de rotation est le moment cinétique. Nous avons vu en (9.2) que dans R
∗ , l’expression du moment cinétique est donnée par :
L
∗ = m − → r ∧ − → v
La dérivée du moment cinétique du système s’écrit dans R
∗ :
d
− →
L
∗
dt
= m
d − → r
dt
∧ − → v + m − → r ∧
d − → v
dt
= m − → v ∧ − → v + m − → r ∧
d − → v
dt
M 1
M 2
m 1
m 2
2
F
2
1 M
M
r =
Figure 9.5 • Illustration d’une
force centrale ; le vecteur force est
colinéaire au rayon vecteur
−−−→
M 1 M 2 .
On obtient ainsi :
d
− →
L
∗
dt
= m − → r ∧
d − → v
dt
ce qui après utilisation de l’équation maîtresse
conduit à :
d
− →
L
∗
dt
= − → r ∧ m
d − → v
dt
= − → r ∧
− →
F 2
La force est la force d’interaction en provenance de M 1 qui agit sur M 2 . Sa droite d’action a donc pour support le vecteur
−−−→
M 1 M 2 , ce
qui montre que la force est colinéaire à − → r . On
dit que la force est centrale..
a) Définition
On appelle force centrale une force dont la droite d’action passe par l’origine du rayon vecteur − → r .
Il en résulte que la dérivée du moment cinétique du système
d
− →
L
∗
dt
= − → r ∧
− →
F 2 est nulle dans
R
∗ , ce qui montre que le moment cinétique du système est constant au cours du temps.
b) Théorème de la force centrale
Dans un mouvement à force centrale, il y a conservation du moment cinétique.
La conservation du moment cinétique est très importante car elle conditionne la nature
de la trajectoire du système. En effet, le moment cinétique est un vecteur qui est à la fois
perpendiculaire à − → r et à − → v , c’est-à-dire perpendiculaire au plan défini par les vecteurs − → r
et − → v . Or ce vecteur est constant, c’est-à-dire qu’il conserve au cours du mouvement une
direction, un sens et un module fixes. Il en résulte que, quel que soit l’instant t considéré,
les vecteurs − → r et − → v , qui sont coplanaires, sont perpendiculaires à une direction constante,
celle du moment cinétique. Or les vecteurs − → r et − → v définissent la trajectoire des points M 1
et M 2 . On en conclut donc que :
Mécanique du point
3.3. Conservation du moment cinétique
L’équation fondamentale de la dynamique est généralement utilisée pour traduire le mouvement de translation du système. Une grandeur très utile pour appréhender le mouvement de rotation est le moment cinétique. Nous avons vu en (9.2) que dans R
∗ , l’expression du moment cinétique est donnée par :
L
∗ = m − → r ∧ − → v
La dérivée du moment cinétique du système s’écrit dans R
∗ :
d
− →
L
∗
dt
= m
d − → r
dt
∧ − → v + m − → r ∧
d − → v
dt
= m − → v ∧ − → v + m − → r ∧
d − → v
dt
M 1
M 2
m 1
m 2
2
F
2
1 M
M
r =
Figure 9.5 • Illustration d’une
force centrale ; le vecteur force est
colinéaire au rayon vecteur
−−−→
M 1 M 2 .
On obtient ainsi :
d
− →
L
∗
dt
= m − → r ∧
d − → v
dt
ce qui après utilisation de l’équation maîtresse
conduit à :
d
− →
L
∗
dt
= − → r ∧ m
d − → v
dt
= − → r ∧
− →
F 2
La force est la force d’interaction en provenance de M 1 qui agit sur M 2 . Sa droite d’action a donc pour support le vecteur
−−−→
M 1 M 2 , ce
qui montre que la force est colinéaire à − → r . On
dit que la force est centrale..
a) Définition
On appelle force centrale une force dont la droite d’action passe par l’origine du rayon vecteur − → r .
Il en résulte que la dérivée du moment cinétique du système
d
− →
L
∗
dt
= − → r ∧
− →
F 2 est nulle dans
R
∗ , ce qui montre que le moment cinétique du système est constant au cours du temps.
b) Théorème de la force centrale
Dans un mouvement à force centrale, il y a conservation du moment cinétique.
La conservation du moment cinétique est très importante car elle conditionne la nature
de la trajectoire du système. En effet, le moment cinétique est un vecteur qui est à la fois
perpendiculaire à − → r et à − → v , c’est-à-dire perpendiculaire au plan défini par les vecteurs − → r
et − → v . Or ce vecteur est constant, c’est-à-dire qu’il conserve au cours du mouvement une
direction, un sens et un module fixes. Il en résulte que, quel que soit l’instant t considéré,
les vecteurs − → r et − → v , qui sont coplanaires, sont perpendiculaires à une direction constante,
celle du moment cinétique. Or les vecteurs − → r et − → v définissent la trajectoire des points M 1
et M 2 . On en conclut donc que :