Systèmes à deux corps
233
aboutissons à :
m 1
d − → r 1
d t
+ m 2
d − → r 2
d t
=
− →
cste
(9.4)
ce qui montre en utilisant (9.1) que le centre de masse a un mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel d’étude. Si l’on fait le choix explicite (comme nous le
faisons ici) de se placer dans le référentiel barycentrique, la constante est nulle puisque
− → v G/R∗ =
− →
0 . On retouve bien alors le fait que, dans R
∗ , la quantité de mouvement de la
masse m 1 est opposée à celle de la masse m 2 . Une nouvelle intégration conduit ensuite à
la relation de définition du centre de masse, à savoir :
m 1
− → r 1 + m 2
− → r 2 =
− →
0 ⇒ m 1
− → r 1 = −m 2
− → r 2
G
M 1
M 2
M 1 ’
M 1 ’’
M 2 ’’
M 2 ’
Figure 9.4 • Trajectoire des centres d’inerties M 1 et M 2 .
Remarquons que par le biais de cette relation, la connaissance de la position de la masse m 1
entraîne ipso facto celle de la position de m 2 . On dit que les masses décrivent des trajectoires
homothétiques de rapport m 1 /m 2 , ce que montre la figure 9.4.
Par multiplication de chaque équation de la relation fondamentale de la dynamique par
la masse de l’autre objet, et soustraction des deux équations nous obtenons :
m 1 m 2
d
2− → r 2
dt 2 − m 1 m 2
d
2− → r 1
dt 2 = m 2
− →
F 2 − m 1
− →
F 1
Or, d’après le principe des actions réciproques,
− →
F 1 = −
− →
F 2 , ce qui conduit à :
m 1 m 2
d
2 ( − → r 2 − − → r 1 )
dt 2
= m 2
− →
F 2 + m 1
− →
F 2 = (m 1 + m 2 )
− →
F 2
Il s’ensuit que
m 1 m 2
d
2 (
− − →
GM 2 −
− − →
GM 1 )
dt 2
= m 1 m 2
d
2 −−−→
M 1 M 2
dt 2
= (m 1 + m 2 )
− →
F 2
ce qui conduit après introduction de la variable − → r =
−−−→
M 1 M 2 et de la masse réduite m du
système, à :
m
d
2− → r
dt 2 =
− →
F 2
Cette équation est l’équation maîtresse du mouvement.
233
aboutissons à :
m 1
d − → r 1
d t
+ m 2
d − → r 2
d t
=
− →
cste
(9.4)
ce qui montre en utilisant (9.1) que le centre de masse a un mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel d’étude. Si l’on fait le choix explicite (comme nous le
faisons ici) de se placer dans le référentiel barycentrique, la constante est nulle puisque
− → v G/R∗ =
− →
0 . On retouve bien alors le fait que, dans R
∗ , la quantité de mouvement de la
masse m 1 est opposée à celle de la masse m 2 . Une nouvelle intégration conduit ensuite à
la relation de définition du centre de masse, à savoir :
m 1
− → r 1 + m 2
− → r 2 =
− →
0 ⇒ m 1
− → r 1 = −m 2
− → r 2
G
M 1
M 2
M 1 ’
M 1 ’’
M 2 ’’
M 2 ’
Figure 9.4 • Trajectoire des centres d’inerties M 1 et M 2 .
Remarquons que par le biais de cette relation, la connaissance de la position de la masse m 1
entraîne ipso facto celle de la position de m 2 . On dit que les masses décrivent des trajectoires
homothétiques de rapport m 1 /m 2 , ce que montre la figure 9.4.
Par multiplication de chaque équation de la relation fondamentale de la dynamique par
la masse de l’autre objet, et soustraction des deux équations nous obtenons :
m 1 m 2
d
2− → r 2
dt 2 − m 1 m 2
d
2− → r 1
dt 2 = m 2
− →
F 2 − m 1
− →
F 1
Or, d’après le principe des actions réciproques,
− →
F 1 = −
− →
F 2 , ce qui conduit à :
m 1 m 2
d
2 ( − → r 2 − − → r 1 )
dt 2
= m 2
− →
F 2 + m 1
− →
F 2 = (m 1 + m 2 )
− →
F 2
Il s’ensuit que
m 1 m 2
d
2 (
− − →
GM 2 −
− − →
GM 1 )
dt 2
= m 1 m 2
d
2 −−−→
M 1 M 2
dt 2
= (m 1 + m 2 )
− →
F 2
ce qui conduit après introduction de la variable − → r =
−−−→
M 1 M 2 et de la masse réduite m du
système, à :
m
d
2− → r
dt 2 =
− →
F 2
Cette équation est l’équation maîtresse du mouvement.