14
Mécanique du point
Avoir un vecteur accélération constant ne suffit pas pour dire que le mouvement est rectiligne. Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la même direction que le vecteur accélération.
Dans le cas contraire, on obtient un mouvement parabolique qui est traité à la fin de ce
chapitre.
Encart 1.2. Un mouvement plus complexe
Nous considérons maintenant le cas d’un mouvement rectiligne plus complexe dans
lequel nous supposons que l’accélération est de la forme :
¨ x = pt
où p est une constante.
L’accélération est variable dans le temps et nous recherchons l’équation horaire du
mouvement. Nous effectuons donc deux intégrations successives qui nous conduisent
d’une part à la vitesse :
¨ x = pt =⇒ d v = pt d t =⇒ v =
pt d t
soit
v = p
t
2
2
+ q = ˙ x
et d’autre part à la position :
x = p
t
3
6
+ qt + r
Comme toujours les constantes d’intégration q et r sont déterminées par les conditions
initiales du mouvement qui, si elles se résument à x = 0 et v = 0 à t = 0, conduisent à :
x = p
t
3
6
c) Mouvement rectiligne sinusoïdal
x(t)
t
X m
Figure 1.13 • Représentation du mouvement
sinusoïdal dans le temps.
Le mouvement d’un point M est dit
rectiligne sinusoïdal si, se produisant
sur un axe Ox, l’abscisse x du point M
s’écrit :
x = X m cos(vt + w)
Le terme vt + w est appelé phase à
l’instant t avec w la phase à l’origine
des dates (t = 0). Le terme X m correspond à l’amplitude du mouvement, x
variant sinusoïdalement de −X m à X m
comme le montre la figure 1.13. La vitesse a pour expression :
v = ˙ x = −X m sin(vt + w)