Cinématique du point
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Le vecteur vitesse étant constant, le mouvement est rectiligne car la vitesse est tangente à la
trajectoire. La droite sur laquelle le point se déplace est assimilée à l’axe des x. L’équation
différentielle du mouvement s’écrit alors :
− → v = ˙ x − → u x = C − → u x ⇒ ˙ x = C
ce qui conduit à l’équation horaire suivante :
x = Ct + x 0
b) Le mouvement uniformément varié
Un mouvement est dit rectiligne uniformément varié si le vecteur accélération est constant
et la trajectoire rectiligne.
Mouvement rectiligne uniformément varié ⇐⇒ a =
− →
cste et trajectoire rectiligne
Si le mouvement est rectiligne, il est commode de se fixer comme axe du mouvement l’axe
des x. On aura donc :
−→
OM = x − → u x =⇒ − → v = ˙ x − → u x =⇒ − → a = ¨ x − → u x
et
− → a = ¨ x − → u x = C − → u x
Par intégration de cette équation nous obtenons la vitesse du point M :
v = ˙ x = Ct + B
ce qui, par une nouvelle intégration, conduit à l’équation horaire du mouvement :
x =
1
2
Ct
2 + Bt + D
Les constantes B et D qui sont apparues dans les deux intégrations successives, sont déterminées par les conditions initiales du mouvement du point M. Ainsi, si le point M a une
vitesse nulle et est en x = x o à t = 0, les constantes B et D deviennent B = 0 et D = x o et
l’équation horaire du mouvement s’écrit alors :
x =
1
2
Ct
2 + x o
Remarques. Le mouvement est uniformément accéléré si la norme du vecteur vitesse est
une fonction croissante de t, soit v
2 fonction croissante. La dérivée de v
2 doit donc être
positive. La condition sera :
d v
2
d t
> 0 =⇒ 2 v.
d v
d t
> 0
L’étude du signe du produit de la vitesse par l’accélération permettra de préciser si le
mouvement est accéléré (˙ x . ¨ x > 0) ou retardé (˙ x . ¨ x < 0).