Cinématique du point
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et l’accélération :
a = ¨ x = −v
2 X m cos(vt + w)
L’équation différentielle du mouvement est donc
¨ x + v
2 x = 0
Cette équation correspond à l’équation différentielle du second ordre d’un oscillateur harmonique.
Remarque. La solution de cette équation différentielle peut s’écrire de différentes façons,
toutes équivalentes. On a :
x = X m cos(vt + w) = X m sin(vt + w
) = A sin vt + B cos vt
En utilisant les relations trigonométriques usuelles, on obtient très simplement :
w
= w + p/2 ; A = −X m sin w ; B = X m cos w.
5.2. Mouvement circulaire uniforme
θ
u
→
y
x
M
ρ
u
→
θ
R
M
a
→
R
M
v
→
R
O
Figure 1.14 • Mouvement
circulaire uniforme.
Le mouvement d’un point est dit circulaire uniforme si :
• le point se déplace sur un cercle ;
• sa vitesse angulaire de rotation est constante.
L’équation différentielle du mouvement est donnée
par :
d u
d t
= v = cste
ce qui conduit par intégration à
u = vt + u o
Les caractéristiques cinématiques du mouvement circulaire uniforme peuvent se déduire
du schéma de la figure 1.14 et sont données par :
−→
OM(t) = r − → u r (t) = r cos u − → u x + r sin u − → u y
− → v (t) =
d
r − → u r (t)
d t
= r ˙
u − → u u (t)
− → a (t) =
d − → v (t)
d t
= −r ˙
u
2− → u r (t)
Nous remarquons donc que le mouvement circulaire uniforme est un mouvement accéléré
dont l’accélération est centripète. En remarquant que − → u u = − → u z ∧ − → u r (annexe 1, 4.) on
peut donner une expression du vecteur vitesse indépendante de la base choisie. En effet
on obtient :
− → v (t) = r ˙
u − → u u (t) = r ˙
u − → u z ∧ − → u r (t) = ˙
u − → u z ∧ r − → u r (t) = − → v ∧
−→
OM(t)