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Mécanique du point
avec w réel positif
x(t) = e
−lt (Ae
wt + Be
−wt )
régime apériodique
x(t) = Ae
−lt cos(wt + f)
régime pseudo périodique
Quelle est la forme de la troisième solution possible et comment nomme-t-on
ce régime ?
d) On se place dans le cas où les frottements seraient très faibles. On a alors
l v o .
Parmi les 2 premières solutions précédentes possibles, laquelle correspond au
cas présent ?
e) Donner l’expression de w en fonction de l et v o . Que peut-on dire de w lorsque
l v o . ?
B) Présence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques).
Au cours d’un tremblement de Terre, une onde sismique se propage et vient faire
osciller le sol sur lequel repose le socle étudié précédemment dans la partie A.
On suppose que le sol est animé alors, par rapport à (R), d’un mouvement X(t) vertical
dirigé vers le bas, sinusoïdal, de pulsation v (voir figure d) : X(t) = X m cos(vt).
Dans ce cas, le mouvement du socle par rapport à (R) est un mouvement de translation
rectiligne non uniforme. Le référentiel socle (S) n’est plus galiléen. l’étude du mouvement de m peut se faire de la même façon que précédemment : il suffit d’ajouter, dans
le bilan des forces, la force d’inertie d’entraînement
− →
F i = −m − → a e = −m ¨
X − → u x (voir
chapitre sur les référentiels non galiléens).
Étude des oscillations forcées dans le référentiel socle (S)
a) Étude du système masse m (cas de la figure d) dans le référentiel socle (S) :
Quelle différence y a-t-il par rapport au cas du A3)a) ? En déduire alors que
l’équation différentielle du mouvement de M est de la forme :
¨ x + 2l˙ x + v
2
o x = A cos(vt) avec A = v
2 X m
b) On constate, au bout d’un certain temps, que la masse m oscille avec la même
pulsation v que le socle (oscillation forcées : régime permanent). La solution
est de la forme :
x(t) = x m cos(vt + w)
En notation complexe on pose :
X(t) = X m cos(vt)
⇒ X(t) = X m e
jvt
x(t) = x m cos(vt + w) ⇒ x(t) = x m e
jw e
jvt = x m e
jvt
avec j
2 = −1
Reporter les grandeurs complexes dans l’équation différentielle du mouvement
de m et en déduire une expression de x m puis de x m en fonction de l, v, v o
et X m .
c) Pour le fonctionnement en sismographe, on a : l v o ainsi que v o v.
Que peut-on dire alors, en première approximation, de x m par rapport à X m .
Montrer qu’on peut ainsi mesurer l’amplitude du tremblement de Terre.
Mécanique du point
avec w réel positif
x(t) = e
−lt (Ae
wt + Be
−wt )
régime apériodique
x(t) = Ae
−lt cos(wt + f)
régime pseudo périodique
Quelle est la forme de la troisième solution possible et comment nomme-t-on
ce régime ?
d) On se place dans le cas où les frottements seraient très faibles. On a alors
l v o .
Parmi les 2 premières solutions précédentes possibles, laquelle correspond au
cas présent ?
e) Donner l’expression de w en fonction de l et v o . Que peut-on dire de w lorsque
l v o . ?
B) Présence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques).
Au cours d’un tremblement de Terre, une onde sismique se propage et vient faire
osciller le sol sur lequel repose le socle étudié précédemment dans la partie A.
On suppose que le sol est animé alors, par rapport à (R), d’un mouvement X(t) vertical
dirigé vers le bas, sinusoïdal, de pulsation v (voir figure d) : X(t) = X m cos(vt).
Dans ce cas, le mouvement du socle par rapport à (R) est un mouvement de translation
rectiligne non uniforme. Le référentiel socle (S) n’est plus galiléen. l’étude du mouvement de m peut se faire de la même façon que précédemment : il suffit d’ajouter, dans
le bilan des forces, la force d’inertie d’entraînement
− →
F i = −m − → a e = −m ¨
X − → u x (voir
chapitre sur les référentiels non galiléens).
Étude des oscillations forcées dans le référentiel socle (S)
a) Étude du système masse m (cas de la figure d) dans le référentiel socle (S) :
Quelle différence y a-t-il par rapport au cas du A3)a) ? En déduire alors que
l’équation différentielle du mouvement de M est de la forme :
¨ x + 2l˙ x + v
2
o x = A cos(vt) avec A = v
2 X m
b) On constate, au bout d’un certain temps, que la masse m oscille avec la même
pulsation v que le socle (oscillation forcées : régime permanent). La solution
est de la forme :
x(t) = x m cos(vt + w)
En notation complexe on pose :
X(t) = X m cos(vt)
⇒ X(t) = X m e
jvt
x(t) = x m cos(vt + w) ⇒ x(t) = x m e
jw e
jvt = x m e
jvt
avec j
2 = −1
Reporter les grandeurs complexes dans l’équation différentielle du mouvement
de m et en déduire une expression de x m puis de x m en fonction de l, v, v o
et X m .
c) Pour le fonctionnement en sismographe, on a : l v o ainsi que v o v.
Que peut-on dire alors, en première approximation, de x m par rapport à X m .
Montrer qu’on peut ainsi mesurer l’amplitude du tremblement de Terre.