Oscillations forcées, résonance
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Principe du sismographe
Soit un point matériel M (masse m) suspendu à un socle (S) par un ressort de raideur k
et de longueur à vide l o (voir figures ci-dessous).
On associe au référentiel socle (S) un repère constitué d’une origine O correspondant
à la position de la masse à l’équilibre suspendue au ressort (figure 2) et d’un axe (Ox)
vertical dirigé vers le bas.
Lorsque le point M se déplace verticalement, il subit une force de frottement fluide de
la forme :
− →
f = −a − → v (a coefficient de frottement fluide, réel positif). On désigne par
x(t) le déplacement de M par rapport à sa position d’équilibre O (figure 3).
Le socle repose sur le sol terrestre. Dans tout ce qui suit, le Référentiel Terrestre lié au
centre de la Terre (R) est considéré comme galiléen.
lo
O
x
x(t)
m
Ressort :
raideur k
longueur à vide lo
Socle (S)
Ressort à vide
Masse m
à l'équilibre
Masse m en
mouvement (instant t)
Socle (S)
Socle (S)
Δle
x
Sol terrestre immobile
O
x
x(t)
Socle (S)
Ω
X
X(t)
X(t):Oscillation du so l
Oscillation du sol
entraînant le socle
O
M
M
M
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
Figure 6.10
A) Absence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques).
1) Que peut-on dire du référentiel socle(S) dans le cas où le sol serait immobile dans
le référentiel terrestre (R) (figure a, b et c), ?
2) Étude de la masse dans la position d’équilibre (figure b)
Étudier la masse m dans le cas de la figure 2 et en déduire l’expression de l’allongement
Dl e du ressort.
3) Étude de la masse en mouvement (figure c) dans le référentiel socle (S)
On écarte la masse m de sa position d’équilibre puis on la lâche.
a) Exprimer la Tension
− →
T du ressort à un instant t quelconque.
b) Étudier le système masse m (cas de la figure 3) et montrer que l’équation différentielle du mouvement de M est de la forme : ¨ x + 2l˙ x + v
2
o x = 0
Donner l’expression de l et de v o . Que représente v o ?
c) Deux solutions possibles pour ce type d’équation différentielle sont les suivantes :