Oscillations forcées, résonance
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Solution
Principe du sismographe
l o
O
x
x(t)
m
Ressort :
raideur k
longueur à vide l o
Socle (S)
a) Ressort à vide
b) Masse m
à l'équilibre
c) Masse m en
mouvement (instant t)
Socle (S)
Socle (S)
Δl e
x
Sol terrestre immobile
O
x
x(t)
Socle (S)
Ω
X
X(t)
X(t): Oscillation du sol
d) Oscillation du sol
entraînant le socle
O
P
→
P
→
P
→
e
T
→
T
→
T
→
a)
b)
c)
d)
Figure 6.11
A) Absence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques).
1) Le référentiel socle(S), dans le cas où le sol serait immobile dans le référentiel terrestre (R), est un référentiel galiléen comme le référentiel terrestre
2) Étude de la masse dans la position d’équilibre (figure b)
Système masse m, référentiel socle (S) galiléen,
Forces : poids
− →
P = m − → g = mg − → u x et tension
− →
T = −kDl e
− → u x
Condition d’équilibre :
− →
P +
− →
T =
− →
0 ⇒ mg = kDl e ⇒ Dl e =
mg
k
3) Étude de la masse en mouvement (figure c) dans le référentiel socle (S)
a) La tension du ressort, à un instant t quelconque, est
− →
T = −k(x + Dl e ) − → u x .
b) Force :
− →
P = m − → g = mg − → u x ,
− →
T = −k(x + Dl e ) − → u x , et frottement fluide :
− →
f = −a − → v = −a˙ x − → u x
Principe fondamental de la dynamique :
m − → a = m¨ x − → u x = mg − → u x − k(Dl e + x) − → u x − a˙ x − → u x
= ⇒ ¨ x +
a
m
˙ x +
k
m
x = g −
kDl e
m
= 0
¨ x + 2l˙ x + v
2
o x = 0 avec l =
a
2m
et v o =
k
m
, pulsation propre de l’oscillateur.
c) Régime critique : x(t) = (At + B)e
−lt
d) l v o (frottement très faible) alors la solution correspond à un régime pseudo
périodique : x(t) = Ae
−lt cos(wt + f)