Oscillations forcées, résonance
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alors en opposition de phase avec l’excitateur. Là encore l’observation du phénomène est
facile : quand la masse descend le haut du ressort monte et vice versa. À la résonance, le
résonateur est en quadrature par rapport à l’excitateur et il est alors plus difficile de visualiser clairement les mouvements respectifs du résonateur et de l’excitateur. Cette difficulté
est accrue par le fait que le résonateur se déplace très vite.
Nous venons de voir qu’à la résonance, l’amplitude des oscillations du résonateur
passe par un maximum. Toutefois nous observons que ce phénomène ne se produit
pas toujours à la même fréquence, en particulier si l’amortissement change. Cette
observation impose d’être prudent sur la terminologie du mot résonance. En effet,
nous allons voir que la vitesse du résonateur passe, elle, par un maximum lorsque
la pulsation de l’excitateur est rigoureusement égale à la pulsation propre du résonateur et ceci quelle que soit la valeur de l’amortissement. De plus, c’est à cette
fréquence que le transfert d’énergie entre l’excitateur et le résonateur est optimal.
La résonance en mécanique est donc de façon rigoureuse plus une résonance de
vitesse que d’amplitude. Toutefois, comme il est plus facile d’étudier l’amplitude
du mouvement plutôt que la vitesse instantanée du résonateur, il est d’usage d’appréhender la résonance en mécanique par l’étude de l’amplitude. Nous étudions
maintenant le comportement de la vitesse du résonateur en fonction de la pulsation
de l’excitateur.
2.2. Résonance de vitesse
Par définition, la vitesse de l’oscillateur est égale à la dérivée de la position soit :
v =
dx
dt
= jvX 0 e
j(vt+f) = vX 0 e
j(vt+f+p/2)
Il est facile de voir que l’on peut écrire la vitesse de la façon suivante :
v(t) = V 0 e
j(vt+fv)
à condition de poser :
V 0 = vX 0
et
f v = f +
p
2
L’équation différentielle du mouvement de l’oscillateur s’écrit en termes de vitesse :
m
dv
dt
+ av + k
vdt = F 0 e
jvt
Le report de l’expression de la vitesse dans cette équation conduit à :
V 0 e
j(vt+fv) (mjv + a +
k
jv
) = F 0 e
jvt
ce qui aboutit à :
V 0 (v) =
F 0
a 2 + (mv −
k
v ) 2
et
tan f v (v) = −
mv −
k
v
a
Ces relations montrent que si la pulsation v de l’excitateur est égale à la pulsation propre
v 0 =
k
m
de l’oscillateur, alors la force et la vitesse sont en phase. De plus la vitesse
V 0 (v 0 ) est alors maximale ; on dit qu’il y a résonance de vitesse. À la résonance de vitesse
nous avons donc :
f v (v 0 ) = 0 et V 0 (v 0 ) = V max =
F 0
a
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alors en opposition de phase avec l’excitateur. Là encore l’observation du phénomène est
facile : quand la masse descend le haut du ressort monte et vice versa. À la résonance, le
résonateur est en quadrature par rapport à l’excitateur et il est alors plus difficile de visualiser clairement les mouvements respectifs du résonateur et de l’excitateur. Cette difficulté
est accrue par le fait que le résonateur se déplace très vite.
Nous venons de voir qu’à la résonance, l’amplitude des oscillations du résonateur
passe par un maximum. Toutefois nous observons que ce phénomène ne se produit
pas toujours à la même fréquence, en particulier si l’amortissement change. Cette
observation impose d’être prudent sur la terminologie du mot résonance. En effet,
nous allons voir que la vitesse du résonateur passe, elle, par un maximum lorsque
la pulsation de l’excitateur est rigoureusement égale à la pulsation propre du résonateur et ceci quelle que soit la valeur de l’amortissement. De plus, c’est à cette
fréquence que le transfert d’énergie entre l’excitateur et le résonateur est optimal.
La résonance en mécanique est donc de façon rigoureuse plus une résonance de
vitesse que d’amplitude. Toutefois, comme il est plus facile d’étudier l’amplitude
du mouvement plutôt que la vitesse instantanée du résonateur, il est d’usage d’appréhender la résonance en mécanique par l’étude de l’amplitude. Nous étudions
maintenant le comportement de la vitesse du résonateur en fonction de la pulsation
de l’excitateur.
2.2. Résonance de vitesse
Par définition, la vitesse de l’oscillateur est égale à la dérivée de la position soit :
v =
dx
dt
= jvX 0 e
j(vt+f) = vX 0 e
j(vt+f+p/2)
Il est facile de voir que l’on peut écrire la vitesse de la façon suivante :
v(t) = V 0 e
j(vt+fv)
à condition de poser :
V 0 = vX 0
et
f v = f +
p
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L’équation différentielle du mouvement de l’oscillateur s’écrit en termes de vitesse :
m
dv
dt
+ av + k
vdt = F 0 e
jvt
Le report de l’expression de la vitesse dans cette équation conduit à :
V 0 e
j(vt+fv) (mjv + a +
k
jv
) = F 0 e
jvt
ce qui aboutit à :
V 0 (v) =
F 0
a 2 + (mv −
k
v ) 2
et
tan f v (v) = −
mv −
k
v
a
Ces relations montrent que si la pulsation v de l’excitateur est égale à la pulsation propre
v 0 =
k
m
de l’oscillateur, alors la force et la vitesse sont en phase. De plus la vitesse
V 0 (v 0 ) est alors maximale ; on dit qu’il y a résonance de vitesse. À la résonance de vitesse
nous avons donc :
f v (v 0 ) = 0 et V 0 (v 0 ) = V max =
F 0
a