Oscillations forcées, résonance
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Pour des raisons pratiques, il est commode d’utiliser la représentation complexe. On écrit
alors que :
x (t) = X 0 e
j(vt+f)
F (t) = F 0 e
jvt
En transposant dans l’équation différentielle du mouvement il vient :
X 0 e
j(vt+f) (−mv
2 + jva + k) = F 0 e
jvt
En utilisant la pulsation propre de l’oscillateur harmonique et en simplifiant par la partie
dépendante du temps on aboutit à :
X 0 e
jf (v
2
0 − v
2 + j
va
m
) =
F 0
m
avec v
2
0 =
k
m
.
De cette équation complexe on peut tirer la valeur de X 0 et de f. En prenant le module
de l’équation nous obtenons :
X 0 (v) =
F 0
m
(v
2
0 − v 2 ) 2 +
v 2 a 2
m 2 )
soit encore
X 0 (v) =
ev
2
0
(v
2
0 − v 2 ) 2 +
v 2 a 2
m 2 )
En raisonnant sur les arguments des nombres complexes nous obtenons la valeur de la
tangente de la phase f :
tan f (v) = −
va
m(v
2
0 − v 2 )
Les expressions ci-dessus montrent que l’amplitude et la phase de l’oscillateur entretenu
dépendent de la pulsation de l’excitateur. En particulier, l’amplitude des oscillations passe
par un maximum dont la position est déterminée par l’équation suivante :
dX 0 (v)
dv
= 0
Le calcul de la dérivée ne pose pas de problème majeur et l’équation ci-dessus est vérifiée
lorsque
v
2 = v
2
0 −
a
2
2m 2
L’amplitude passe donc par un maximum non nul si la condition v 0 >
a
m
√
2
est vérifiée.
La figure 6.4 montre l’évolution de l’amplitude et de la phase en fonction de la fréquence.
Il est important de noter que l’amplitude des oscillations passe par un maximum au voisinage de la pulsation propre de l’oscillateur harmonique non entretenu ce qui correspond
à un phénomène qui, de façon impropre (pour des raisons que nous évoquerons plus tard),
est qualifié de résonance. L’acuité de ce phénomène dépend fortement du coefficient de
frottement a. Si celui est très faible on dit que la résonance est aiguë ; c’est notamment
le cas pour la valeur a = 0,01 de la figure 6.4. Quand a augmente la résonance devient
floue. De plus l’observation du maximum n’est possible que si le coefficient de frottement
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Pour des raisons pratiques, il est commode d’utiliser la représentation complexe. On écrit
alors que :
x (t) = X 0 e
j(vt+f)
F (t) = F 0 e
jvt
En transposant dans l’équation différentielle du mouvement il vient :
X 0 e
j(vt+f) (−mv
2 + jva + k) = F 0 e
jvt
En utilisant la pulsation propre de l’oscillateur harmonique et en simplifiant par la partie
dépendante du temps on aboutit à :
X 0 e
jf (v
2
0 − v
2 + j
va
m
) =
F 0
m
avec v
2
0 =
k
m
.
De cette équation complexe on peut tirer la valeur de X 0 et de f. En prenant le module
de l’équation nous obtenons :
X 0 (v) =
F 0
m
(v
2
0 − v 2 ) 2 +
v 2 a 2
m 2 )
soit encore
X 0 (v) =
ev
2
0
(v
2
0 − v 2 ) 2 +
v 2 a 2
m 2 )
En raisonnant sur les arguments des nombres complexes nous obtenons la valeur de la
tangente de la phase f :
tan f (v) = −
va
m(v
2
0 − v 2 )
Les expressions ci-dessus montrent que l’amplitude et la phase de l’oscillateur entretenu
dépendent de la pulsation de l’excitateur. En particulier, l’amplitude des oscillations passe
par un maximum dont la position est déterminée par l’équation suivante :
dX 0 (v)
dv
= 0
Le calcul de la dérivée ne pose pas de problème majeur et l’équation ci-dessus est vérifiée
lorsque
v
2 = v
2
0 −
a
2
2m 2
L’amplitude passe donc par un maximum non nul si la condition v 0 >
a
m
√
2
est vérifiée.
La figure 6.4 montre l’évolution de l’amplitude et de la phase en fonction de la fréquence.
Il est important de noter que l’amplitude des oscillations passe par un maximum au voisinage de la pulsation propre de l’oscillateur harmonique non entretenu ce qui correspond
à un phénomène qui, de façon impropre (pour des raisons que nous évoquerons plus tard),
est qualifié de résonance. L’acuité de ce phénomène dépend fortement du coefficient de
frottement a. Si celui est très faible on dit que la résonance est aiguë ; c’est notamment
le cas pour la valeur a = 0,01 de la figure 6.4. Quand a augmente la résonance devient
floue. De plus l’observation du maximum n’est possible que si le coefficient de frottement