158
Mécanique du point
Nous appellerons L la longueur du fil, à l’équilibre, entre le point d’attache sur le
moteur et la poulie et l cette longueur pour une position quelconque repérée par
l’angle u (figure 6.3). Nous supposons D e ce qui permet de faire un développement
limité au premier ordre par rapport à e/D. Dans ces conditions, nous avons :
X = L − l =
D
2 + e
2
1/2 − (D
2 + e
2
− 2eD cos u)
1/2
e cos u
Si le moteur tourne à la vitesse angulaire constante v, nous pouvons écrire :
X (t) = e cos vt
Le terme kX (t) du second membre de l’équation différentielle qui est homogène à une
force s’écrit donc :
F (t) = kX (t) = ke cos vt = F 0 cos vt
(6.2)
F 0 = ke représente l’amplitude maximale de la force excitatrice. Il apparaît donc clairement que ce montage permet de réaliser un générateur de force sinusoïdale. L’équation
différentielle peut donc écrire :
m¨ x + a˙ x + kx = F 0 cos vt
2. SOLUTION DE L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
2.1. Étude de l’amplitude
Après quelques oscillations qui correspondent à un régime transitoire, le système adopte
en régime permanent un mouvement de type sinusoïdal dont la pulsation est la même que
la pulsation de la force excitatrice mais dont la phase diffère de celle de la force excitatrice.
Il est donc logique d’écrire que la solution du régime permanent est du type :
x (t) = X 0 cos(vt + f)
La détermination des quantités X 0 et f se fait en reportant cette solution dans l’équation
différentielle.
De même, la solution du régime transitoire est la solution de l’équation différentielle sans
second membre dont nous avons vu qu’elle conduit à l’expression suivante :
x t (t) = Ae
−
at
2m cos(v
t + f)
avec v
=
2
v
2
0 −
a 2
4m 2 (voir chapitre 5). La solution générale de l’équation différentielle
est la somme de ces deux solutions. Cependant, il est clair que la contribution du régime
transitoire devient très vite négligeable par rapport à celle du régime permanent, en raison du terme exponentiel présent dans cette expression. Pour cette raison nous ne nous
intéresserons qu’au régime permanent que nous appelerons le régime forcé.
Mécanique du point
Nous appellerons L la longueur du fil, à l’équilibre, entre le point d’attache sur le
moteur et la poulie et l cette longueur pour une position quelconque repérée par
l’angle u (figure 6.3). Nous supposons D e ce qui permet de faire un développement
limité au premier ordre par rapport à e/D. Dans ces conditions, nous avons :
X = L − l =
D
2 + e
2
1/2 − (D
2 + e
2
− 2eD cos u)
1/2
e cos u
Si le moteur tourne à la vitesse angulaire constante v, nous pouvons écrire :
X (t) = e cos vt
Le terme kX (t) du second membre de l’équation différentielle qui est homogène à une
force s’écrit donc :
F (t) = kX (t) = ke cos vt = F 0 cos vt
(6.2)
F 0 = ke représente l’amplitude maximale de la force excitatrice. Il apparaît donc clairement que ce montage permet de réaliser un générateur de force sinusoïdale. L’équation
différentielle peut donc écrire :
m¨ x + a˙ x + kx = F 0 cos vt
2. SOLUTION DE L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
2.1. Étude de l’amplitude
Après quelques oscillations qui correspondent à un régime transitoire, le système adopte
en régime permanent un mouvement de type sinusoïdal dont la pulsation est la même que
la pulsation de la force excitatrice mais dont la phase diffère de celle de la force excitatrice.
Il est donc logique d’écrire que la solution du régime permanent est du type :
x (t) = X 0 cos(vt + f)
La détermination des quantités X 0 et f se fait en reportant cette solution dans l’équation
différentielle.
De même, la solution du régime transitoire est la solution de l’équation différentielle sans
second membre dont nous avons vu qu’elle conduit à l’expression suivante :
x t (t) = Ae
−
at
2m cos(v
t + f)
avec v
=
2
v
2
0 −
a 2
4m 2 (voir chapitre 5). La solution générale de l’équation différentielle
est la somme de ces deux solutions. Cependant, il est clair que la contribution du régime
transitoire devient très vite négligeable par rapport à celle du régime permanent, en raison du terme exponentiel présent dans cette expression. Pour cette raison nous ne nous
intéresserons qu’au régime permanent que nous appelerons le régime forcé.