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Mécanique du point
k
D
O
x
Ω
e
m
X
Excentricité
Moteur
Poulie
Position d'équilibre
Moteur arrêté
Figure 6.1 • Schéma de principe d’un montage permettant l’étude des
oscillations forcées en mécanique.
1.2. Équation différentielle du mouvement
Nous considérons le mouvement de la masse m dans un référentiel Galiléen lié au sol
R(O, x, t) avec le vecteur
− →
i vecteur unitaire servant de base à R. L’origine du référentiel
est prise sur la position d’équilibre de la masse pour laquelle l’allongement du ressort est
Dl 0 . À l’équilibre le poids
− →
P de la masse m compense la tension
− →
T du ressort (figure 6.2)
soit :
mg − kDl 0 = 0
Pour une position arbitraire x(t) de l’oscillateur et lorsque le moteur est bloqué, la masse m
est soumise à son poids
− →
P , à la force de tension
− →
T du ressort dont l’allongement est
(x + Dl 0 ), à la force de frottement visqueux. Dès que le moteur tourne, le fil fait subir au
ressort une force supplémentaire qui tire ou pousse le ressort selon la position de l’excentrique. Cette force engendre un allongement (x(t) − X(t) + Dl 0 ) du ressort. Il importe de
noter que dans cette expression les quantités x(t) et X(t) sont des quantités algébriques.
Ainsi sur le schéma de la figure 6.2 et dans la position ou le moteur tourne nous avons
x(t) > 0 et X(t) < 0.
L’application de la relation fondamentale de la dynamique conduit à l’équation différentielle du mouvement donnée par :
− →
F +
− →
F e +
− →
P +
− →
T = m − → a G/R
L’allongement du ressort est alors :
x(t) − X(t) + Dl 0
où X(t) correspond au déplacement, par rapport à la position d’équilibre, de l’extrémité
du ressort reliée au moteur.
Par projection sur l’axe des abscisses, on obtient l’équation différentielle suivante :
m¨ x = −k(Dl 0 + x − X (t)) + a˙ x + mg
Mécanique du point
k
D
O
x
Ω
e
m
X
Excentricité
Moteur
Poulie
Position d'équilibre
Moteur arrêté
Figure 6.1 • Schéma de principe d’un montage permettant l’étude des
oscillations forcées en mécanique.
1.2. Équation différentielle du mouvement
Nous considérons le mouvement de la masse m dans un référentiel Galiléen lié au sol
R(O, x, t) avec le vecteur
− →
i vecteur unitaire servant de base à R. L’origine du référentiel
est prise sur la position d’équilibre de la masse pour laquelle l’allongement du ressort est
Dl 0 . À l’équilibre le poids
− →
P de la masse m compense la tension
− →
T du ressort (figure 6.2)
soit :
mg − kDl 0 = 0
Pour une position arbitraire x(t) de l’oscillateur et lorsque le moteur est bloqué, la masse m
est soumise à son poids
− →
P , à la force de tension
− →
T du ressort dont l’allongement est
(x + Dl 0 ), à la force de frottement visqueux. Dès que le moteur tourne, le fil fait subir au
ressort une force supplémentaire qui tire ou pousse le ressort selon la position de l’excentrique. Cette force engendre un allongement (x(t) − X(t) + Dl 0 ) du ressort. Il importe de
noter que dans cette expression les quantités x(t) et X(t) sont des quantités algébriques.
Ainsi sur le schéma de la figure 6.2 et dans la position ou le moteur tourne nous avons
x(t) > 0 et X(t) < 0.
L’application de la relation fondamentale de la dynamique conduit à l’équation différentielle du mouvement donnée par :
− →
F +
− →
F e +
− →
P +
− →
T = m − → a G/R
L’allongement du ressort est alors :
x(t) − X(t) + Dl 0
où X(t) correspond au déplacement, par rapport à la position d’équilibre, de l’extrémité
du ressort reliée au moteur.
Par projection sur l’axe des abscisses, on obtient l’équation différentielle suivante :
m¨ x = −k(Dl 0 + x − X (t)) + a˙ x + mg