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Mécanique du point
b) Système uniquement la masse m posée sur le plateau, référentiel terrestre galiléen,
Bilan des forces extérieures : le poids
− →
P = m − → g = −mg − → u x et la réaction du plateau
− →
R = R − → u x .
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
R = m − → a ⇒ −mg + R = m¨ x
En remplaçant l’accélération par son expression : R = m(¨ x + g) = m(g + 2v
2 X e cos vt)
c) R = m(¨ x + g) = m(g + 2v
2 X e cos vt) = 0 ⇒ −g = 2v
2 X e cos vt
g = −2v
2 X e cos vt ⇒ cos vt =
−g
2v 2 X e
=
−10
2.100.0,1
= −
1
2
⇒ vt =
2p
3
À l’instant t =
2p
3v
=
2p
30
= 0,21 s, la réaction s’annule.
La masse peut alors décoller du plateau
II. Question de cours
x(t) = e
−lt (X 1 cos vt + X 2 sin vt)
II.1. Oscillateur faiblement amorti. L’oscillateur n’est pas harmonique. Le régime est
pseudopériodique.
II.2. Pseudopulsation v en rad.s
-1 et la pseudo-période T =
2p
v
en seconde
II.3. x(t) = e
−lt (X 1 cos vt + X 2 sin vt) ⇒ x(0) = x o = X 1
⇒ ˙ x(t) = e
−lt [−lX 1 cos vt − vX 1 sin vt − lX 2 sin vt + vX 2 cos vt]
˙ x(0) = −lX 1 + vX 2 = 0 ⇒ X 2 =
l
v
X 1 =
l
v
x o
On a donc :
x(t) = x o e
−lt (cos vt +
l
v
sin vt)
Tunnel traversant la Terre
P
r
C
R
F
→
Figure 5.23
Le poids d’un corps correspond, en première approximation, à l’attraction gravitationnelle qu’exerce la Terre sur
ce corps.
Dans le cas où la Terre est supposé sphérique et homogène, on peut montrer que, pour tout point P à l’intérieur
de la Terre (voir figure), de masse m, situé à la distance
CP = r du centre C de la Terre, l’attraction terrestre est
une force agissant sur ce point, dirigée vers le centre de
la Terre et de mesure :
− →
F = −mg
r
R
− → u avec r R et − → u
vecteur unitaire de C vers P.