Oscillateurs mécaniques
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On constate que la fonction x(t) est de la forme :
x(t) = e
−lt (X 1 cos vt + X 2 sin vt)
II.1. À quel type d’oscillateur correspond ce système ? L’oscillateur est-il harmonique ?
Le régime est-il apériodique, critique ou pseudopériodique ?
II.2. Que représentent les grandeurs v et T =
2p
v
(nom et unité) ?
II.3. Déterminer l’expression des constantes X 1 et X 2 en utilisant les conditions initiales.
Solution
I.
x
x
x
x
l o
Ressort à
vide
Ressort à
l’équilibre
t = 0
Ressort comprimé
x(t = 0) = x o < 0
Instant t
O
x
x o
X e = Dle
x
Fig. a)
Fig. c)
Fig. b)
Fig. d)
x
u
Vecteur
unitaire
O
e
T
P
T
P
→
→
→
→
→
Figure 5.22
I.1. Système (masse+plateau) à l’équilibre. Référentiel terrestre galiléen.
Forces : le poids
− →
P = m − → g = −mg − → u x et la tension du ressort :
− →
T e = kDl e
− → u x = kX e
− → u x
À l’équilibre :
− →
P +
− →
T e =
− →
0 ⇒ −mg − → u x + kX e
− → u x = 0 ⇒ X e =
mg
k
= 0,1 m = 10 cm.
I.2. a)
− →
T = k(Dl e − x) − → u x = (kX e − kx) − → u x = −mg − → u x − kx − → u x
b) Principe fondamental de la dynamique (projeter selon Ox) :
− →
P +
− →
T = m − → a ⇒ −mg + kX e − kx = m¨ x ⇒ ¨ x + v
2 x = 0avecv
2 =
k
m
Ce type d’oscillateur : c’est un oscillateur harmonique
c)
v
2 =
k
m
⇒ v =
k
m
= 10 rad.s
−1
d)
x(t) = X m cos(vt + w)
e) x(0) = x o ⇒ x o = X m cos w et ˙ x(t) = −vX m sin(vt + w) ⇒ ˙ x(0) = 0 = −vX m sin w
On en déduit donc comme solution w = 0 X m = x o soit x(t) = x o cos vt
I.3. a) x(t) = x o cos vt = −2X e cos vt ; ˙ x = +2X e v sin vt et donc
¨ x(t) = −v
2 x o cos vt = −v
2 x(t) = +2X e v
2 cos vt