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Mécanique du point
Par la suite (Fig. c et d) on repère la position de la masse m par son abscisse x sur un
axe Ox vertical dirigé vers le haut, l’origine O correspondant à la position d’équilibre
du plateau.
x
x
x
x
t
t
t
x
x
O
O
x
l o
x o
x o
X
Fig. a)
Fig. b)
Fig. c)
Fig. d)
e = l
D e
x
u
→
Figure 5.21
Données numériques : k = 10 N.m
−1 ; m = 0,1 kg ; g = 10 m.s
−2
I.1. Étudier le système (masse+plateau) à l’équilibre. En déduire l’expression de la
compression X e = Dl e . Faire l’application numérique.
I.2. On comprime le ressort jusqu’à l’abscisse x o et à t = 0 on lâche le plateau sans
vitesse initiale {x(0) = x o et v(0) = 0} (Fig. c). On suppose que la masse reste sur le
plateau.
a) Exprimer la tension
− →
T du ressort à l’instant t (Fig. d).
b) Faire l’étude du système à l’instant t (Fig. d) et montrer que l’équation différentielle
du mouvement peut s’écrire : ¨ x + v
2 x = 0 ; comment se nomme ce type d’oscillateur ?
c) Donner l’expression de v et calculer sa valeur.
d) Donner l’expression générale x(t) de la solution de l’équation différentielle.
e) En tenant compte des conditions initiales, montrer que x(t) = x o cos vt
I.3. On fixe la valeur de x o telle que : x o = −2X e
a) Exprimer l’abscisse x(t) et l’accélération ¨ x(t)
b) En considérant comme système uniquement la masse m posée sur le plateau, faire un
bilan des forces. En déduire, en appliquant le principe fondamental de la dynamique,
l’expression de la réaction R du plateau sur la masse en fonction de l’accélération ¨ x
puis en fonction du temps t.
c) Cette réaction peut-elle s’annuler ? Si oui, quand ? Que peut-il arriver ensuite pour
la masse m ?
II. Question de cours
On considère un oscillateur constitué d’une masse m accrochée à l’extrémité d’un ressort de raideur k. La masse peut osciller suivant un axe Ox, le point O correspondant à
la position d’équilibre du système, et on repère la masse par son abscisse x.
À l’instant t = 0on écarte la masse de sa position d’équilibre (x(t = 0) = x o ) et on la
lâche sans vitesse initiale (v(t = 0) = 0). On étudie alors l’abscisse x de la masse en
fonction du temps.
Mécanique du point
Par la suite (Fig. c et d) on repère la position de la masse m par son abscisse x sur un
axe Ox vertical dirigé vers le haut, l’origine O correspondant à la position d’équilibre
du plateau.
x
x
x
x
t
t
t
x
x
O
O
x
l o
x o
x o
X
Fig. a)
Fig. b)
Fig. c)
Fig. d)
e = l
D e
x
u
→
Figure 5.21
Données numériques : k = 10 N.m
−1 ; m = 0,1 kg ; g = 10 m.s
−2
I.1. Étudier le système (masse+plateau) à l’équilibre. En déduire l’expression de la
compression X e = Dl e . Faire l’application numérique.
I.2. On comprime le ressort jusqu’à l’abscisse x o et à t = 0 on lâche le plateau sans
vitesse initiale {x(0) = x o et v(0) = 0} (Fig. c). On suppose que la masse reste sur le
plateau.
a) Exprimer la tension
− →
T du ressort à l’instant t (Fig. d).
b) Faire l’étude du système à l’instant t (Fig. d) et montrer que l’équation différentielle
du mouvement peut s’écrire : ¨ x + v
2 x = 0 ; comment se nomme ce type d’oscillateur ?
c) Donner l’expression de v et calculer sa valeur.
d) Donner l’expression générale x(t) de la solution de l’équation différentielle.
e) En tenant compte des conditions initiales, montrer que x(t) = x o cos vt
I.3. On fixe la valeur de x o telle que : x o = −2X e
a) Exprimer l’abscisse x(t) et l’accélération ¨ x(t)
b) En considérant comme système uniquement la masse m posée sur le plateau, faire un
bilan des forces. En déduire, en appliquant le principe fondamental de la dynamique,
l’expression de la réaction R du plateau sur la masse en fonction de l’accélération ¨ x
puis en fonction du temps t.
c) Cette réaction peut-elle s’annuler ? Si oui, quand ? Que peut-il arriver ensuite pour
la masse m ?
II. Question de cours
On considère un oscillateur constitué d’une masse m accrochée à l’extrémité d’un ressort de raideur k. La masse peut osciller suivant un axe Ox, le point O correspondant à
la position d’équilibre du système, et on repère la masse par son abscisse x.
À l’instant t = 0on écarte la masse de sa position d’équilibre (x(t = 0) = x o ) et on la
lâche sans vitesse initiale (v(t = 0) = 0). On étudie alors l’abscisse x de la masse en
fonction du temps.