Oscillateurs mécaniques
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b) x = X m cos(v o t + w) et ˙ x = −v o X m sin(v o t + w).
Avec
x(0) = X o = X m cos w et ˙ x(0) = −v o X m sin w = 0,
on obtient :
x = X o cos v o t = 5 cos 10t (x exprimé en cm)
2) Approche énergétique
a) E PP = −mgx sin u
b) E Pe =
1
2
k(Dl 1 + x)
2
c) E m =
1
2
m˙ x
2
− mgx sin u +
1
2
k(Dl 1 + x)
2
d) Pas de frottement donc le système est conservatif : E m = constante soit
d E m
d t
=0
e)
d E m
d t
=
1
2
2m˙ x¨ x − mg˙ x sin u +
1
2
2k(Dl 1 + x)˙ x = 0 ⇒ m¨ x + kx = 0
(même résultat qu’au 2.1.)
3) Mouvement avec frottement visqueux
a) Il faut ajouter :
− →
f v = −a − → v = −a˙ x − → u x . On obtient alors
mg sin u. − k(Dl 1 + x) − a˙ x = m¨ x0 ⇒ ¨ x +
a
m
˙ x + v
2
o x = 0
⇒ v
2
o =
k
m
=
10
0,1
= 100
⇒ v o = 10¨ x + 12˙ x + 100x = 0
b) D = (12)
2
− 400 = −256 = j
2 .16
2
⇒
√
D = ±j16 ⇒ r = −6 ± 8j
x(t) = exp(−6t)[A cos 8t + B sin 8t] régime pseudo périodique avec v = 8 rad.s
−1
(pseudo pulsation) et la pseudo période T =
2p
v
=
6,28
8
= 0,785 > T o = 0,628 s
˙ x(t) = −6 exp(−6t)[A cos 8t + B sin 8t] + exp(−6t)[−8A sin 8t + 8B cos 8t)
˙ x(0) = −6A + 8B = 0 ⇒ 3A = 4B et x(0) = A = X o = 5
x(t) = 5 exp(−6t)[cos 8t + 0,75 sin 8t)
Oscillateurs
I. Un ressort, de raideur k et longueur à vide l o , pouvant travailler en compression, est
posé verticalement sur le sol. Un plateau de masse négligeable est fixé à l’extrémité libre
de ce ressort (Fig. a).
On pose sur le plateau une masse m (considérée ponctuelle). À l’équilibre, le ressort
est comprimé d’une quantité X e = Dl e (Fig. b).