Oscillateurs mécaniques
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Dans cette relation, g est le champ de gravitation à la surface de la Terre et R est le
rayon de la Terre.
1) En considérant, pour le point P, un petit déplacement élémentaire : d
− →
l = d r. − → u ,
exprimer le travail élémentaire dW de la force
− →
F . Montrer que ce travail élémentaire
dW peut s’écrire comme l’opposé de la différentielle d’une fonction de r et appelée
énergie potentielle E P (r) : dW = − d E P . Donner l’expression de E P en fonction de m,
g, r et R. On choisira l’énergie potentielle nulle au centre C.
R
d
C
P
r
x
H
S’
S
Figure 5.24
2) On considère un tunnel rectiligne traversant la Terre. Une masse ponctuelle m peut s’y
déplacer sans frottement. La distance du tunnel au centre C de la Terre est : CH = d. On
abandonne, sans vitesse initiale, la masse m à
l’entrée S du tunnel. On repère alors la position du point P par l’abscisse HP = x.
a) Donner l’expression de l’énergie potentielle
E P en fonction de la position x dans le tunnel. En déduire l’expression de l’énergie mécanique E de la masse m.
b) Exprimer la dérivée par rapport au temps de l’énergie mécanique :
d E
d t
. Que peuton dire de la valeur de cette dérivée ? En déduire l’équation différentielle en x du
mouvement.
c) Quelle est la nature du mouvement de m. Donner la forme de la solution x(t).
d) Calculer la vitesse maximale de m en H.
A.N. : d = 5.10
6 m, R = 6,4.10
6 m, g = 10 m.s
−2 .
Solution
1) Le travail élémentaire dW pour un petit déplacement élémentaire : d
− →
l = d r. − → u
est dW =
− →
F
− →
d
− →
l = −mg
r
R
− → u − → u d r
dW = −mg
r
R
d r = − d
1
2
mg
r
2
R
= − d E P
Avec l’énergie potentielle nulle au centre C on a :
E P (r) =
1
2
mg
r
2
R
2) a) On a : r
2 = d
2 + x
2
⇒ E P =
1
2
mg
d
2 + x
2
R
L’énergie mécanique : E = E c + E p =
1
2
mv
2 +
1
2
mg
d
2 + x
2
R
b)
d E
d t
=
1
2
2mv
d v
d t
+
1
2
2mg
x
R
d x
d t
= mv¨ x + m
g
R
xv = mv
¨ x +
g
R
x