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Mécanique du point
P
→
z
z A
z B
B
M
A
y
x
u y
→
u x
→
u z
→
g
→
α
Figure 4.4 • Travail du poids d’un corps.
Ce résultat peut être obtenu en utilisant les coordonnées des points A et B et des
composantes du vecteur − → g dans un repère cartésien (O, x, y, z). En orientant l’axe Oz
vers le haut (voir figure 4.4) nous pouvons écrire :
− →
P = m − → g =
0
0
−mg
et
− →
AB =
x B − x A
y B − y A
z B − z A
soit :
W A→B
− →
P
=
− →
P .
− →
AB = mg (z A − z B )
Enfin, ce résultat peut se retrouver en partant de l’expression du travail élémentaire
du poids. Dans le repère cartésien (O, x, y, z), on peut écrire :
d W− → P =
− →
P . d
− →
l = −mg − → u z . (d x − → u x + d z − → u z ) = −mg d z
Il en résulte que pour aller de A en B, le travail du poids est donné par :
W A→B
− →
P
= mg(z A − z B )
(4.1)
On peut remarquer que le travail élémentaire de correspond à l’opposé de la différentielle d’un fonction qui serait mgz + constante. Nous y reviendrons par la suite.
2.2. Travail d’une force élastique
Considérons un ressort de raideur k, de longueur au repos l 0 , au bout duquel est accrochée une masse m comme l’indique la figure 4.5. Le ressort et la masse sont sur un plan
horizontal et nous nous intéressons uniquement à la tension du ressort.
La force élastique
− →
T , c’est-à-dire la force de tension du ressort, est une force qui varie avec
l’état d’étirement du ressort k. Ce n’est donc pas une force constante au cours du déplacement. Pour calculer le travail de cette force il nous faut calculer le travail élémentaire de
Mécanique du point
P
→
z
z A
z B
B
M
A
y
x
u y
→
u x
→
u z
→
g
→
α
Figure 4.4 • Travail du poids d’un corps.
Ce résultat peut être obtenu en utilisant les coordonnées des points A et B et des
composantes du vecteur − → g dans un repère cartésien (O, x, y, z). En orientant l’axe Oz
vers le haut (voir figure 4.4) nous pouvons écrire :
− →
P = m − → g =
0
0
−mg
et
− →
AB =
x B − x A
y B − y A
z B − z A
soit :
W A→B
− →
P
=
− →
P .
− →
AB = mg (z A − z B )
Enfin, ce résultat peut se retrouver en partant de l’expression du travail élémentaire
du poids. Dans le repère cartésien (O, x, y, z), on peut écrire :
d W− → P =
− →
P . d
− →
l = −mg − → u z . (d x − → u x + d z − → u z ) = −mg d z
Il en résulte que pour aller de A en B, le travail du poids est donné par :
W A→B
− →
P
= mg(z A − z B )
(4.1)
On peut remarquer que le travail élémentaire de correspond à l’opposé de la différentielle d’un fonction qui serait mgz + constante. Nous y reviendrons par la suite.
2.2. Travail d’une force élastique
Considérons un ressort de raideur k, de longueur au repos l 0 , au bout duquel est accrochée une masse m comme l’indique la figure 4.5. Le ressort et la masse sont sur un plan
horizontal et nous nous intéressons uniquement à la tension du ressort.
La force élastique
− →
T , c’est-à-dire la force de tension du ressort, est une force qui varie avec
l’état d’étirement du ressort k. Ce n’est donc pas une force constante au cours du déplacement. Pour calculer le travail de cette force il nous faut calculer le travail élémentaire de