52
Mécanique du point
− → a e =
d
2 − →
OA
d t 2 +
d
−
→
V R/R T
d t
∧
− →
AP +
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
AP)
=
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
OA) +
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
AP).
− → a e =
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
OP) = vo − → u z ∧ (vo − → u z ∧ (R + x) − → ur .
− → a e = −v
2
o (R +
1
2
aot
2 ) − → uu . L’accélération d’entraînement correspond à l’accélération du point
P par rapport à RT s’il était fixe dans l’autobus à ce moment-là. Il a alors un mouvement
circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo d’où l’expression du vecteur
accélération qui est normale à la trajectoire et centripète.
− → a T = − → a r + − → a e + − → a c ⇒ (ao − (R +
1
2
aot
2 )v
2
o ) − → ur + 2aotvo − → uu .
4) AB = 3 m=
1
2
aot
2 ⇒ t =
q
2AB
ao
= 1 s⇒ vb = aot = 6 m.s
−1 .
L’autobus a tourné d’un angle u = vot =
1
6
rad= 9, 55
◦ et a parcouru l = Ru = 20 m.
2 Le référentiel R1 a un mouvement combiné de rotation uniforme par rapport au référentiel R
avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V R 1 /R = vo − → u z et de translation circulaire uniforme (G décrit
un cercle de rayon a avec une vitesse angulaire vo − → u z et donc une vitesse linéaire vo − → u z ∧
− →
OG).
Vitesse d’entraînement de A1 :
− → v e =
d
− →
OG
d t
+
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1 =
− →
V R 1 /R ∧
− →
OG +
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1 =
− →
V R 1 /R ∧
− − →
OA1
− − →
OA1 =
− →
OG +
− − →
GA1 = a − → ur + r cos u1 − → ur + r sin u1 − → uu = (a + r cos u1) − → ur + r sin u1 − → uu
Ceci peut aussi s’exprimer dans la base ( − → u x,
− → u y) en utilisant :
− → ur = cos u − → u x + sin u − → u y;
− → uu = − sin u − → u x + cos u − → u y.
− → v e = vo − → u z ∧ ((a + r cos u1) − → ur + r sin u1 − → uu ) = −vor sin u1 − → ur + vo(a + r cos u1) − → uu .
Le point A1 a un mouvement circulaire de rayon r et de vitesse angulaire v1 = cste. On a donc
le vecteur vitesse de A1 dans R1 :
− →
vA 1 = − →
v1 ∧
− − →
GA1 = − →
v1 ∧ (r cos u1 − → ur + r sin u1 − → uu ) = −v1r sin u1 − → ur + v1r cos u1 − → uu .
On a le vecteur accélération complémentaire :
− → vc = 2
− →
V R 1 /R ∧ − →
vA 1 = 2vo − → u z ∧ (−v1r sin u1 − → ur + v1r cos u1 − → uu )
− → vc = −2vov1r cos u1 − → ur − 2vov1r sin u1 − → uu = −2vov1
− − →
GA1
− → vc = −2vov1r(cos u1 − → ur + sin u1 − → uu ).
On a le vecteur accélération d’entraînement :
− → ve =
d
2 − →
OG
d t 2 +
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1) +
d
−
→
V R 1 /R
d t
∧
− − →
GA1
− → ve =
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− →
OG) +
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1) = vo − → u z ∧ (vo − → u z ∧
− − →
OA1)
− → ve = vo − → u z ∧ (vo − → u z ∧ ((a + r cos u1) − → ur + r sin u1 − → uu )) = −v
2
o (a + r cos u1) − → ur − v
2
o r sin u1 − → uu .
Mécanique du point
− → a e =
d
2 − →
OA
d t 2 +
d
−
→
V R/R T
d t
∧
− →
AP +
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
AP)
=
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
OA) +
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
AP).
− → a e =
− →
V R/R T ∧ (
− →
V R/R T ∧
− →
OP) = vo − → u z ∧ (vo − → u z ∧ (R + x) − → ur .
− → a e = −v
2
o (R +
1
2
aot
2 ) − → uu . L’accélération d’entraînement correspond à l’accélération du point
P par rapport à RT s’il était fixe dans l’autobus à ce moment-là. Il a alors un mouvement
circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo d’où l’expression du vecteur
accélération qui est normale à la trajectoire et centripète.
− → a T = − → a r + − → a e + − → a c ⇒ (ao − (R +
1
2
aot
2 )v
2
o ) − → ur + 2aotvo − → uu .
4) AB = 3 m=
1
2
aot
2 ⇒ t =
q
2AB
ao
= 1 s⇒ vb = aot = 6 m.s
−1 .
L’autobus a tourné d’un angle u = vot =
1
6
rad= 9, 55
◦ et a parcouru l = Ru = 20 m.
2 Le référentiel R1 a un mouvement combiné de rotation uniforme par rapport au référentiel R
avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V R 1 /R = vo − → u z et de translation circulaire uniforme (G décrit
un cercle de rayon a avec une vitesse angulaire vo − → u z et donc une vitesse linéaire vo − → u z ∧
− →
OG).
Vitesse d’entraînement de A1 :
− → v e =
d
− →
OG
d t
+
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1 =
− →
V R 1 /R ∧
− →
OG +
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1 =
− →
V R 1 /R ∧
− − →
OA1
− − →
OA1 =
− →
OG +
− − →
GA1 = a − → ur + r cos u1 − → ur + r sin u1 − → uu = (a + r cos u1) − → ur + r sin u1 − → uu
Ceci peut aussi s’exprimer dans la base ( − → u x,
− → u y) en utilisant :
− → ur = cos u − → u x + sin u − → u y;
− → uu = − sin u − → u x + cos u − → u y.
− → v e = vo − → u z ∧ ((a + r cos u1) − → ur + r sin u1 − → uu ) = −vor sin u1 − → ur + vo(a + r cos u1) − → uu .
Le point A1 a un mouvement circulaire de rayon r et de vitesse angulaire v1 = cste. On a donc
le vecteur vitesse de A1 dans R1 :
− →
vA 1 = − →
v1 ∧
− − →
GA1 = − →
v1 ∧ (r cos u1 − → ur + r sin u1 − → uu ) = −v1r sin u1 − → ur + v1r cos u1 − → uu .
On a le vecteur accélération complémentaire :
− → vc = 2
− →
V R 1 /R ∧ − →
vA 1 = 2vo − → u z ∧ (−v1r sin u1 − → ur + v1r cos u1 − → uu )
− → vc = −2vov1r cos u1 − → ur − 2vov1r sin u1 − → uu = −2vov1
− − →
GA1
− → vc = −2vov1r(cos u1 − → ur + sin u1 − → uu ).
On a le vecteur accélération d’entraînement :
− → ve =
d
2 − →
OG
d t 2 +
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1) +
d
−
→
V R 1 /R
d t
∧
− − →
GA1
− → ve =
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− →
OG) +
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− − →
GA1) = vo − → u z ∧ (vo − → u z ∧
− − →
OA1)
− → ve = vo − → u z ∧ (vo − → u z ∧ ((a + r cos u1) − → ur + r sin u1 − → uu )) = −v
2
o (a + r cos u1) − → ur − v
2
o r sin u1 − → uu .