Changements de référentiels
53
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
Figure 2.17
3 1) Dans le référentiel R1, − → u x1 = − → ur est un vecteur fixe
⇒ − →
vR 1 = ˙
r − → u x1 = −(rov sin vt) − → u x1.
Le référentiel R1 est en rotation par rapport à R avec
une vitesse angulaire constante
− →
V R 1 /R = v − → u z. La vitesse
d’entraînement − → ve s’écrit :
− → ve =
− →
V R 1 /R ∧
− →
OM
= v − → u z ∧ ro cos vt − → ur = (vro cos vt) − → uu = vr − → u y1
(le point M, s’il était fixe dans R1, aurait un mouvement
circulaire uniforme de rayon r et de vitesse angulaire v).
2) − → vR = − →
vR 1 + − → ve = −(rov sin vt) − → ur + (vro cos vt) − → uu
− → vR = vro
ˆ −(sin vt) − → ur + (cos vt) − → uu
˜ ⇒ ⇒ − → vR = vro
et − → vR. − → ur = − → vR − → ur cos w
⇒ cos w =
− → vR. − → ur
vro
= − sin vt = − sin u = cos
“ p
2
+ u
”
⇒ w =
p
2
+ u
3) − →
aR 1 = ¨
r − →
ux1 = −(rov
2 cos vt) − → ur = −rv
2− → ur .
Accélération complémentaire :
− → ac = 2
− →
V R 1 /R ∧ − →
vR 1 = 2v − → u z ∧ (−rov sin vt) − → ur = −2(rov
2 sin vt) − → uu
Accélération d’entraînement : − → ae =
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− →
OM) = −rv
2− → ur
− → aR = − →
aR 1 + − → ac + − → ae = −2rov
2
ˆ
(cos vt) − → ur + (sin vt) − → uu
˜ ⇒ ⇒ − → aR = 2rov
2
− → aR. − → ur = − → aR cos C = −2rov
2 (cos vt) ⇒ cos C = − cos vt = − cos u = cos(p − u)
C = p − u.
Remarque :
− →
OM = ro cos vt − → ur = ro cos vt(cos vt − → u x + sin vt − → u y)
− →
OM = ro
ˆ
(cos
2 vt) − → u x + (cos vt sin vt) − → u y
˜
− →
OM = ro
ˆ 1
2
(1 + cos 2vt) − → u x +
1
2
(sin 2vt) − → u y
˜ ⇒ (x −
ro
2
) =
ro
2
cos 2vt et y =
ro
2
L’équation de la trajectoire en cordonnées cartésiennes est (x −
ro
2
)
2 + y
2 = (
ro
2
)
2 .
Le point M décrit un cercle de rayon
ro
2
et de centre C de coordonnées (
ro
2
, 0) (figure 2.17).
4 1) Étude dans Rm
Repère axe OC avec base ( − → ur , − → uu ) fixe dans Rm. Le point P a un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération ao ⇒
− →
V P/Rm = (aot) − → ur (t = 0,
− →
V P/Rm (0) =
− →
0 )
A.N. :
− →
V P/Rm = t. − → ur .
À t = 0,
− →
OP(0) =
− →
0 ⇒
− →
OP = r − → ur =
1
2
aot
2− → ur . A.N. :
− →
OP = 0, 5t
2− → ur
OC = ro =
1
2
aot
2 ⇒ t =
q
2ro
ao
. A.N. : t =
√
4 = 2 s
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210
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300
150
330
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0
Figure 2.17
3 1) Dans le référentiel R1, − → u x1 = − → ur est un vecteur fixe
⇒ − →
vR 1 = ˙
r − → u x1 = −(rov sin vt) − → u x1.
Le référentiel R1 est en rotation par rapport à R avec
une vitesse angulaire constante
− →
V R 1 /R = v − → u z. La vitesse
d’entraînement − → ve s’écrit :
− → ve =
− →
V R 1 /R ∧
− →
OM
= v − → u z ∧ ro cos vt − → ur = (vro cos vt) − → uu = vr − → u y1
(le point M, s’il était fixe dans R1, aurait un mouvement
circulaire uniforme de rayon r et de vitesse angulaire v).
2) − → vR = − →
vR 1 + − → ve = −(rov sin vt) − → ur + (vro cos vt) − → uu
− → vR = vro
ˆ −(sin vt) − → ur + (cos vt) − → uu
˜ ⇒ ⇒ − → vR = vro
et − → vR. − → ur = − → vR − → ur cos w
⇒ cos w =
− → vR. − → ur
vro
= − sin vt = − sin u = cos
“ p
2
+ u
”
⇒ w =
p
2
+ u
3) − →
aR 1 = ¨
r − →
ux1 = −(rov
2 cos vt) − → ur = −rv
2− → ur .
Accélération complémentaire :
− → ac = 2
− →
V R 1 /R ∧ − →
vR 1 = 2v − → u z ∧ (−rov sin vt) − → ur = −2(rov
2 sin vt) − → uu
Accélération d’entraînement : − → ae =
− →
V R 1 /R ∧ (
− →
V R 1 /R ∧
− →
OM) = −rv
2− → ur
− → aR = − →
aR 1 + − → ac + − → ae = −2rov
2
ˆ
(cos vt) − → ur + (sin vt) − → uu
˜ ⇒ ⇒ − → aR = 2rov
2
− → aR. − → ur = − → aR cos C = −2rov
2 (cos vt) ⇒ cos C = − cos vt = − cos u = cos(p − u)
C = p − u.
Remarque :
− →
OM = ro cos vt − → ur = ro cos vt(cos vt − → u x + sin vt − → u y)
− →
OM = ro
ˆ
(cos
2 vt) − → u x + (cos vt sin vt) − → u y
˜
− →
OM = ro
ˆ 1
2
(1 + cos 2vt) − → u x +
1
2
(sin 2vt) − → u y
˜ ⇒ (x −
ro
2
) =
ro
2
cos 2vt et y =
ro
2
L’équation de la trajectoire en cordonnées cartésiennes est (x −
ro
2
)
2 + y
2 = (
ro
2
)
2 .
Le point M décrit un cercle de rayon
ro
2
et de centre C de coordonnées (
ro
2
, 0) (figure 2.17).
4 1) Étude dans Rm
Repère axe OC avec base ( − → ur , − → uu ) fixe dans Rm. Le point P a un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération ao ⇒
− →
V P/Rm = (aot) − → ur (t = 0,
− →
V P/Rm (0) =
− →
0 )
A.N. :
− →
V P/Rm = t. − → ur .
À t = 0,
− →
OP(0) =
− →
0 ⇒
− →
OP = r − → ur =
1
2
aot
2− → ur . A.N. :
− →
OP = 0, 5t
2− → ur
OC = ro =
1
2
aot
2 ⇒ t =
q
2ro
ao
. A.N. : t =
√
4 = 2 s