Changements de référentiels
51
3) Soit le vecteur vitesse angulaire
− →
V caractérisant la rotation de la roue. Donner
l’expression de
− →
V . Calculer le produit vectoriel
− →
V ∧
− →
IA (figure 2.16). Le comparer à
− →
V et commenter.
4) Représenter
− →
V sur la figure. Montrer que
− →
V peut être décomposé en deux vecteurs
de même module, l’un parallèle à Ox, l’autre tangent à la roue.
Calculer − → a , le vecteur accélération de A par rapport au sol.
5) On peut considérer que le mouvement de A est le résultat de la composition de
deux mouvements :
• un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Cy de la roue (caractérisé par
le vecteur vitesse angulaire
− →
V ) ;
• un mouvement de translation rectiligne uniforme de la roue (vitesse V o
− → u x ).
Retrouver
− →
V et − → a en utilisant les lois de compositions des vitesses et des accélérations.
Solutions
1 Référentiel R lié à l’autobus, repère (A, − → ur , − → uu ) base fixe dans l’autobus. P a un mouvement
rectiligne uniformément accéléré d’accélération ao dans la direction de A → B (direction de
− → ur ). À t = 0, P est en A.
ar = ao ⇒ vr = aot ⇒ AP = x =
1
2
aot
2 .
2) Référentiel terrestre RT : repère (O, − → ur , − → uu ) base mobile des coordonnées polaires.
− →
OP = r − → ur = (R + x) − → ur ⇒ − → vT = ˙ x − → ur + (R + x) ˙
u − → uu = aot − → ur + (R +
1
2
aot
2 )vo − → uu .
− → aT = ¨ x − → ur + ˙ x ˙
u − → uu + ˙ x ˙
u − → uu − (R + x) ˙
u
2− → ur = (ao − (R +
1
2
aot
2 )v
2
o ) − → ur + 2aotvo − → uu .
On a l’équation de la trajectoire : r = R +
1
2
aot
2 et u = vot ⇒ r = R +
1
2
ao
v 2
o
u
2 (équation d’une
spirale).
3) Loi de composition des vitesses :
Le référentiel R est en mouvement de rotation par rapport à RT avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V R/R T = vo − → u z.
− → vT = − → v r + − → v e avec − → v r = aot − → ur et
− → v e =
d
−
→
OA
d t
+ (
− →
V R/R T ∧
− →
AP) = (
− →
V R/R T ∧
− →
OA) + (
− →
V R/R T ∧
− →
AP)
− → v e = (
− →
V R/R T ∧
− →
OP) = (R+x)vo − → uu = (R+
1
2
aot
2 )vo − → uu . La vitesse d’entraînement correspond à
la vitesse du point P par rapport à RT s’il était fixe dans l’autobus à ce moment-là. Il a alors un
mouvement circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo, d’où l’expression
du vecteur vitesse.
On a donc − → vT = − → v r + − → v e ⇒ − → vT = aot − → ur + (R +
1
2
aot
2 )vo − → uu .
Loi de composition des accélérations :
− → a T = − → a r + − → a e + − → a c avec − → a r = ao − → ur et − → a c = 2
− →
V R/R T ∧ − → v r = 2vo − → u z ∧ aot − → ur = 2aotvo − → uu .
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3) Soit le vecteur vitesse angulaire
− →
V caractérisant la rotation de la roue. Donner
l’expression de
− →
V . Calculer le produit vectoriel
− →
V ∧
− →
IA (figure 2.16). Le comparer à
− →
V et commenter.
4) Représenter
− →
V sur la figure. Montrer que
− →
V peut être décomposé en deux vecteurs
de même module, l’un parallèle à Ox, l’autre tangent à la roue.
Calculer − → a , le vecteur accélération de A par rapport au sol.
5) On peut considérer que le mouvement de A est le résultat de la composition de
deux mouvements :
• un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Cy de la roue (caractérisé par
le vecteur vitesse angulaire
− →
V ) ;
• un mouvement de translation rectiligne uniforme de la roue (vitesse V o
− → u x ).
Retrouver
− →
V et − → a en utilisant les lois de compositions des vitesses et des accélérations.
Solutions
1 Référentiel R lié à l’autobus, repère (A, − → ur , − → uu ) base fixe dans l’autobus. P a un mouvement
rectiligne uniformément accéléré d’accélération ao dans la direction de A → B (direction de
− → ur ). À t = 0, P est en A.
ar = ao ⇒ vr = aot ⇒ AP = x =
1
2
aot
2 .
2) Référentiel terrestre RT : repère (O, − → ur , − → uu ) base mobile des coordonnées polaires.
− →
OP = r − → ur = (R + x) − → ur ⇒ − → vT = ˙ x − → ur + (R + x) ˙
u − → uu = aot − → ur + (R +
1
2
aot
2 )vo − → uu .
− → aT = ¨ x − → ur + ˙ x ˙
u − → uu + ˙ x ˙
u − → uu − (R + x) ˙
u
2− → ur = (ao − (R +
1
2
aot
2 )v
2
o ) − → ur + 2aotvo − → uu .
On a l’équation de la trajectoire : r = R +
1
2
aot
2 et u = vot ⇒ r = R +
1
2
ao
v 2
o
u
2 (équation d’une
spirale).
3) Loi de composition des vitesses :
Le référentiel R est en mouvement de rotation par rapport à RT avec un vecteur vitesse angulaire
− →
V R/R T = vo − → u z.
− → vT = − → v r + − → v e avec − → v r = aot − → ur et
− → v e =
d
−
→
OA
d t
+ (
− →
V R/R T ∧
− →
AP) = (
− →
V R/R T ∧
− →
OA) + (
− →
V R/R T ∧
− →
AP)
− → v e = (
− →
V R/R T ∧
− →
OP) = (R+x)vo − → uu = (R+
1
2
aot
2 )vo − → uu . La vitesse d’entraînement correspond à
la vitesse du point P par rapport à RT s’il était fixe dans l’autobus à ce moment-là. Il a alors un
mouvement circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo, d’où l’expression
du vecteur vitesse.
On a donc − → vT = − → v r + − → v e ⇒ − → vT = aot − → ur + (R +
1
2
aot
2 )vo − → uu .
Loi de composition des accélérations :
− → a T = − → a r + − → a e + − → a c avec − → a r = ao − → ur et − → a c = 2
− →
V R/R T ∧ − → v r = 2vo − → u z ∧ aot − → ur = 2aotvo − → uu .