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Mécanique du point
Ce champ est un champ centripète et radial. Il est en première approximation à symétrie
sphérique ce qui signifie que le module de
− →
G 0 est constant à la surface de la Terre. Ceci
n’est pas tout à fait vérifié car la Terre tourne sur elle-même. Il se produit une déformation
qui rend la Terre plus aplatie aux pôles qu’à l’équateur.
Encart 7.1. Valeur du champ de gravitation à la surface de la Terre
Le champ de gravitation correspond au rapport d’une force sur une masse et est
donc homogène à une accélération. Avec G = 6,64.10
−11 USI ; M = 5,98.10
24 kg
et R T = 6,37.10
6 m, on obtient :
G 0 = G
M
R
2
T
= 9,83 m.s
−2
Remarque. Cette valeur est proche de celle du champ de pesanteur g à la surface de
la Terre. La différence provient principalement de la rotation de la Terre autour de
son axe Sud-Nord. La comparaison entre ces deux grandeurs est traitée au chapitre 8.
Cependant il est possible, en première approximation, de considérer que le champ de
gravitation G 0 correspond au champ de pesanteur g.
2.2. Champ de gravitation au voisinage de la surface terrestre
Nous allons maintenant considérer le cas où la masse m n’est plus en contact avec la surface
terrestre mais se trouve à l’altitude z de la Terre avec z R T .
Le champ de gravitation de la Terre à l’altitude z s’écrit :
− →
G (z) = −G
mM
(R + z) 2
− → u OP
En introduisant le module G 0 du champ
− →
G 0 à la surface de la Terre (z = 0), le module du
champ de gravitation G(z) à l’altitude z peut s’écrire :
G(z) = −G
mM
R
2
T (1 +
z
RT
) 2 = G 0
1
(1 +
z
RT
) 2
Si l’on considère que z est très inférieur à R T , la quantité z/R T est infiniment petite par
rapport à 1 et l’on peut utiliser un développement limité de l’expression de G(z) à l’altitude
z. Rappelons que, lorsque a est petit devant 1 :
(1 + a)
n = 1 + na +
n(n − 1)
2
a
2 + ...
Dans notre cas n = −2 et a = z/R T , ce qui conduit à l’expression du champ, à l’ordre 1
en z/R T , suivante :
G(z) = G(0)(1 − 2
z
R T
)
G(z) décroît avec l’altitude. Pour une altitude z = 32000 m, on obtient une variation relative du champ de l’ordre de 1%. On peut donc souvent négliger cette variation lorsqu’on
reste au voisinage de la Terre.
Mécanique du point
Ce champ est un champ centripète et radial. Il est en première approximation à symétrie
sphérique ce qui signifie que le module de
− →
G 0 est constant à la surface de la Terre. Ceci
n’est pas tout à fait vérifié car la Terre tourne sur elle-même. Il se produit une déformation
qui rend la Terre plus aplatie aux pôles qu’à l’équateur.
Encart 7.1. Valeur du champ de gravitation à la surface de la Terre
Le champ de gravitation correspond au rapport d’une force sur une masse et est
donc homogène à une accélération. Avec G = 6,64.10
−11 USI ; M = 5,98.10
24 kg
et R T = 6,37.10
6 m, on obtient :
G 0 = G
M
R
2
T
= 9,83 m.s
−2
Remarque. Cette valeur est proche de celle du champ de pesanteur g à la surface de
la Terre. La différence provient principalement de la rotation de la Terre autour de
son axe Sud-Nord. La comparaison entre ces deux grandeurs est traitée au chapitre 8.
Cependant il est possible, en première approximation, de considérer que le champ de
gravitation G 0 correspond au champ de pesanteur g.
2.2. Champ de gravitation au voisinage de la surface terrestre
Nous allons maintenant considérer le cas où la masse m n’est plus en contact avec la surface
terrestre mais se trouve à l’altitude z de la Terre avec z R T .
Le champ de gravitation de la Terre à l’altitude z s’écrit :
− →
G (z) = −G
mM
(R + z) 2
− → u OP
En introduisant le module G 0 du champ
− →
G 0 à la surface de la Terre (z = 0), le module du
champ de gravitation G(z) à l’altitude z peut s’écrire :
G(z) = −G
mM
R
2
T (1 +
z
RT
) 2 = G 0
1
(1 +
z
RT
) 2
Si l’on considère que z est très inférieur à R T , la quantité z/R T est infiniment petite par
rapport à 1 et l’on peut utiliser un développement limité de l’expression de G(z) à l’altitude
z. Rappelons que, lorsque a est petit devant 1 :
(1 + a)
n = 1 + na +
n(n − 1)
2
a
2 + ...
Dans notre cas n = −2 et a = z/R T , ce qui conduit à l’expression du champ, à l’ordre 1
en z/R T , suivante :
G(z) = G(0)(1 − 2
z
R T
)
G(z) décroît avec l’altitude. Pour une altitude z = 32000 m, on obtient une variation relative du champ de l’ordre de 1%. On peut donc souvent négliger cette variation lorsqu’on
reste au voisinage de la Terre.