Interaction gravitationnelle
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Remarque. Les rayons terrestres issus de deux point séparés par un mille (1 852 m) font
entre eux un angle de 1’ et sont donc pratiquement parallèles. On peut donc, dans un
volume dont les dimensions sont de l’ordre de quelques kilomètres, considérer le champ
de gravitation comme uniforme :
− →
G (z) = G(0) − → u OP
3. ÉNERGIE POTENTIELLE DE GRAVITATION
3.1. Expression de l’énergie potentielle de gravitation
Considérons une masse m de centre d’inertie P placée dans le champ de gravitation d’une
masse M de centre d’inertie O.
La force de gravitation que subit m est donnée par la loi de Newton :
− →
F M→m = −G
mM
OP 3
− →
OP
Au cours d’un déplacement quelconque dans l’espace, la force de Newton est variable.
L’énergie potentielle de gravitation peut être calculée à partir de la relation différentielle
suivante :
d E P = −
− →
F . d
− →
l
où d
− →
l est un déplacement élémentaire de P.
La force de gravitation étant à symétrie sphérique, il convient de travailler en coordonnées
sphériques (voir annexe). Cependant on peut se contenter de décomposer ce déplacement
en un déplacement élémentaire suivant le vecteur radial − → u r , qui correspond donc à une
variation d r de la distance r, et un déplacement d
− →
l
perpendiculaire à − → u r . L’expression
en coordonnées sphériques est :
d
− →
l
= r d u − → u u + r sin u d w − → u w
On peut donc écrire : d
− →
l = dr − → u r + d
− →
l
.
Il en résulte que la différentielle de l’énergie potentielle s’écrit :
d E P = G
mM
r 3 r − → u r .(d r − → u r + d
− →
l
) = G
mM
r 2 d r
L’intégration de la différentielle de E P conduit à :
E P = −G
mM
r
+ C
Ce résultat peut être obtenu en utilisant les coordonnées cartésiennes mais le calcul est un
peu plus lourd. Le déplacement élémentaire et la force de gravitation s’écrivent respectivement :
d
− →
l = d x − → u x + d y − → u y + d z − → u z
− →
F M→m = −G
mM
OP 3
− →
OP = −G
mM
x − → u x + y − → u y + z − → u z
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2