114
Mécanique du point
2) En déduire l’expression de l’énergie mécanique totale E m (A) en A et E m (M) en M.
3) Le système est-il conservatif ? En déduire une relation entre E m (A) et E m (M).
4) En déduire l’expression de V
2
M en fonction de g, l, V A et u (relation n˚1).
II. Cinématique
L’étude du mouvement de M sur le cercle (ABCD) se fait naturellement en coordonnées
polaires (r = l, u) et la base associée ( − → u r , − → u u )
1) Exprimer le vecteur vitesse
− →
V M en coordonnées polaires et en déduire la relation
entre V M , l et ˙
u. Exprimer V
2
M en fonction de l et ˙
u (relation n˚ 2)
2) Exprimer le vecteur accélération − → a M en coordonnées polaires. En déduire, en utilisant la relation n˚2 précédente, l’expression de la composante radiale a r (suivant − → u r )
de l’accélération en fonction de V M et l.
III. Dynamique
1) Faire l’étude dynamique de M sur la partie circulaire (ABCD). On appellera
− →
T la
tension du fil exercée sur la masse M.
2) En projetant le principe fondamental de la dynamique sur ( − → u r , − → u u ), exprimer le
rapport T/m de la réaction T sur la masse m (relation n˚ 3)
3) En utilisant les relations n˚ 1 et 3, exprimer la tension T du support en fonction de
l, g, V A et u.
4) Dire que la masse fait un tour complet le fil restant tendu se traduit par :
Pour toute valeur de l’angle u, la tension T existe : ∀u, T(u) 0
a) Pour quelle valeur évidente de u la réaction T est-elle minimale ?
b) En déduire la valeur minimale que doit avoir la vitesse V A de la masse m au
point A pour que celle-ci effectue un tour complet le fil restant tendu
c) Quelle est alors la vitesse V C de la masse au point C.
Solution
I. Étude énergétique
M
C
B
x
g
→
A
O
y
D
P
→
T
→
U
Figure 4.14
1) E PP (M) = mgh = mgl(1 − cos u)
2) E(A) = E PP (A) + E C (A) =
1
2
mV
2
A
E(M) = E PP (M) + E C (M)
=
1
2
mV
2
M + mgl(1 − cos u)
3) Le système conservatif (Pas de frottement) donc : E m (A) = E m (M).
4) V
2
M = V
2
A − 2gl(1 − cos u)
(relation n˚1).
Mécanique du point
2) En déduire l’expression de l’énergie mécanique totale E m (A) en A et E m (M) en M.
3) Le système est-il conservatif ? En déduire une relation entre E m (A) et E m (M).
4) En déduire l’expression de V
2
M en fonction de g, l, V A et u (relation n˚1).
II. Cinématique
L’étude du mouvement de M sur le cercle (ABCD) se fait naturellement en coordonnées
polaires (r = l, u) et la base associée ( − → u r , − → u u )
1) Exprimer le vecteur vitesse
− →
V M en coordonnées polaires et en déduire la relation
entre V M , l et ˙
u. Exprimer V
2
M en fonction de l et ˙
u (relation n˚ 2)
2) Exprimer le vecteur accélération − → a M en coordonnées polaires. En déduire, en utilisant la relation n˚2 précédente, l’expression de la composante radiale a r (suivant − → u r )
de l’accélération en fonction de V M et l.
III. Dynamique
1) Faire l’étude dynamique de M sur la partie circulaire (ABCD). On appellera
− →
T la
tension du fil exercée sur la masse M.
2) En projetant le principe fondamental de la dynamique sur ( − → u r , − → u u ), exprimer le
rapport T/m de la réaction T sur la masse m (relation n˚ 3)
3) En utilisant les relations n˚ 1 et 3, exprimer la tension T du support en fonction de
l, g, V A et u.
4) Dire que la masse fait un tour complet le fil restant tendu se traduit par :
Pour toute valeur de l’angle u, la tension T existe : ∀u, T(u) 0
a) Pour quelle valeur évidente de u la réaction T est-elle minimale ?
b) En déduire la valeur minimale que doit avoir la vitesse V A de la masse m au
point A pour que celle-ci effectue un tour complet le fil restant tendu
c) Quelle est alors la vitesse V C de la masse au point C.
Solution
I. Étude énergétique
M
C
B
x
g
→
A
O
y
D
P
→
T
→
U
Figure 4.14
1) E PP (M) = mgh = mgl(1 − cos u)
2) E(A) = E PP (A) + E C (A) =
1
2
mV
2
A
E(M) = E PP (M) + E C (M)
=
1
2
mV
2
M + mgl(1 − cos u)
3) Le système conservatif (Pas de frottement) donc : E m (A) = E m (M).
4) V
2
M = V
2
A − 2gl(1 − cos u)
(relation n˚1).