Travail, puissance, énergie
115
II. Cinématique
1)
− →
V M =
d(r − → u r )
dt
= l ˙
u − → u u ⇒ V M = l ˙
u
donc : V
2
M = l
2 ˙
u
2
(relation n˚2)
2) Le vecteur accélération − → a M = −l ˙
u
2− → u r + l ¨
u − → u u ⇒ a r = −l ˙
u
2 = −
V
2
M
l
III. Dynamique
1) Système la masse m, Référentiel terrestre galiléen,
Forces : Poids
− →
P = m − → g = mg(cos u − → u r − sin u − → u u ) et
− →
T = −T − → u r .
Principe fondamental de la dynamique :
− →
P +
− →
T = m − → a
2) Suivant − → u r : mg cos u − T = −m
V
2
M
l
et −mg sin u = ml ¨
u
Donc :
T
m
= g cos u +
V
2
M
l
(relation n˚3)
3)
T
m
= g cos u +
V
2
M
l
= g cos u +
V
2
A
l
− 2g(1 − cos u) =
V
2
A
l
− g(2 − 3 cos u) =
T
m
4) Pour toute valeur de l’angle u, la tension T existe : ∀u, T(u) 0
a) T minimale pour cos u minimal c’est à dire cos u = −1 ⇒ u = p (réponse évidente)
b) ∀u, T(u) 0 ⇒ ∀u,
V
2
A
l
− g(2 − 3 cos u) 0
⇒ ∀u V
2
A gl(2 − 3 cos u) ⇒ V
2
A 5gl
V A =
5gl
c) V
2
C = V
2
A − 2gl(1 − cos u C ) = 5gl − 2gl(1 − cos p) = gl ⇒ V C =
gl
Looping
Le jouet d’un enfant est constitué d’un petit chariot de masse m qui se déplace sur une
piste se terminant par une boucle circulaire verticale (looping) de rayon R. L’objectif
de l’exercice est de calculer la valeur minimale de l’altitude h du point A pour que le
chariot abandonné en A sans vitesse initiale (V A = 0) puisse faire le tour complet de la
boucle en restant en contact avec la piste tout le long du trajet.
Le chariot assimilé à un point matériel M glisse sur la piste (ABCDEF) sans frottement
On repère la masse M sur la boucle par l’angle u que fait OM avec la verticale OB.
I. Étude énergétique
1) En prenant l’origine de l’énergie potentielle au niveau du sol (E PP (B) = 0 = E PP (F)),
donner l’expression de l’énergie potentielle E PP (A) en A et E PP (M) en M (en fonction
de m, g, h, R et u).