Travail, puissance, énergie
113
b) Suivant le rayon OM :
T cos
p
2
−
u e
2
+ R N − mg sin u e = 0 ⇒ T sin
u e
2
+ R N − mg sin u e = 0
4) Triangle OMA isocèle.
AM
2
= R sin
u e
2
⇒ Dl = 2R sin
u e
2
⇒ T = 2kR sin
u e
2
5) T cos
u e
2
= 2kR sin
u e
2
cos
u e
2
kR sin u e = mg cos u e ⇒ tan u e =
mg
kR
=
1
1
= 1
6) tan u e = 1 ⇒ u e =
p
4
= 45
◦
II. Équilibre de la bille (étude de l’énergie potentielle)
5) E pp = −mgR sin u
6) E pe =
1
2
k(Dl)
2 =
1
2
k
2R sin
u
2
2
= 2kR
2 sin
2 u
2
= kR
2 (1 − cos u)
7) E P (u) = kR
2 (1 − cos u) − mgR sin u
8) E P doit être minimale. La dérivée est donc nulle pour u = u e . L’équilibre est stable
si la dérivée seconde est positive.
d E p
d u
= kR
2 sin u − mgR cos u = 0 ⇒ tan u e =
mk
kR
même résultat que pour I.5.
d
2 E p
d u 2 = kR
2 cos u e + mgR sin u e > 0, l’équilibre est bien stable.
Pendule pesant
M
C
B
l
x
g
→
A
O
y
D
U
Figure 4.13
On considère une masse m accrochée à
une des extrémités M d’un fil de longueur l et de masse négligeable. L’autre
extrémité O du fil est fixe dans le référentiel R terrestre considéré galiléen.
L’objectif de l’exercice est de calculer la
valeur minimale de la vitesse V A de la
masse m au point A pour que celle-ci effectue un tour complet autour du point
O, le fil restant constamment tendu.
On repère la masse M sur la boucle par
l’angle u que fait OM avec la verticale
OA. On notera V A et V M la vitesse de M
respectivement en A et en M.
I. Étude énergétique
1) En prenant l’origine de l’énergie potentielle de pesanteur au niveau du point A
(E PP (A) = 0), donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur E PP (M) en M.