Interactions entre un solide et un fluide en mouvement
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Supposons qu’une particule sphérique de masse volumique ps et de diamètre ds
se déplace dans un fluide immobile (cas rencontré dans la décantation discontinue).
Elle est en réalité soumise à trois forces {cf. figure 1.17) :
• la force de pesanteur {gravitationnal forcé) : Fj = ms g = Vs p s g dans
laquelle ps est la masse volumique du solide ;
• la poussée d'Archimède {Archimede forcé), opposée à la force de pesanteur et
égale au poids du fluide déplacé : F2 = -mf g = -Vf pf g dans laquelle pf est la
masse volumique du fluide) avec Vf = Vs = V ;
•
une force de résistance du fluide {drag forcé) qui s'oppose au déplacement de
O
9 *
la particule (frottements) : F3 =------- ~------ - . Dans cette relation, u est la vitesse de
déplacement du solide, S la surface de projection du solide sur un plan perpendiculaire au déplacement et C le coefficient de friction ou de traînée qui dépend du régime
de déplacement.
En examinant le cas d'une particule sphérique tombant dans un fluide sans
vitesse initiale, la résultante des forces donne : F = F1 +F> +F3 =ms a (avec a = accélération). En projetant sur l’axe Oz, il est obtenu : ms az = (ps - pf ) V g - C$Pf u .
Dès qu’elle est déposée dans le fluide, la particule prend un mouvement
accéléré. Au fur et à mesure que la vitesse augmente, la force F3 de résistance du
fluide prend de plus en plus d'importance et il arrive un moment où Fj + F2 + F3 = 0.
La particule a alors atteint sa vitesse limite de chute, ub {terminal velocity) lorsque
l’accélération devient nulle. Cette vitesse se calcule à partir de la relation précédente
TtdJ
o
nd2
/
37tdjg
C7td2pfu.2
apres avoir remplacé V par---- - et S par —- : (ps - pf )—-— =------- -------- .
6
4
6
8
La vitesse maximale que peut prendre une particule est donc donnée par la
formule 1.76.
l4(p,-Pr)d,g
3C pf
(1.76)
Tous les paramètres peuvent être déterminés, sauf le coefficient C qui dépend
du régime d'écoulement et donc de la vitesse limite. Des études ont permis d'établir
que, dans le cas d'une sphère en mouvement, le comportement du solide à l’égard du
fluide varie selon la vitesse et donc le nombre de Reynolds de la particule, Res {cf
équation 1.26’). Pour une sphère, C = —- (b et n sont des coefficients).
Re
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Supposons qu’une particule sphérique de masse volumique ps et de diamètre ds
se déplace dans un fluide immobile (cas rencontré dans la décantation discontinue).
Elle est en réalité soumise à trois forces {cf. figure 1.17) :
• la force de pesanteur {gravitationnal forcé) : Fj = ms g = Vs p s g dans
laquelle ps est la masse volumique du solide ;
• la poussée d'Archimède {Archimede forcé), opposée à la force de pesanteur et
égale au poids du fluide déplacé : F2 = -mf g = -Vf pf g dans laquelle pf est la
masse volumique du fluide) avec Vf = Vs = V ;
•
une force de résistance du fluide {drag forcé) qui s'oppose au déplacement de
O
9 *
la particule (frottements) : F3 =------- ~------ - . Dans cette relation, u est la vitesse de
déplacement du solide, S la surface de projection du solide sur un plan perpendiculaire au déplacement et C le coefficient de friction ou de traînée qui dépend du régime
de déplacement.
En examinant le cas d'une particule sphérique tombant dans un fluide sans
vitesse initiale, la résultante des forces donne : F = F1 +F> +F3 =ms a (avec a = accélération). En projetant sur l’axe Oz, il est obtenu : ms az = (ps - pf ) V g - C$Pf u .
Dès qu’elle est déposée dans le fluide, la particule prend un mouvement
accéléré. Au fur et à mesure que la vitesse augmente, la force F3 de résistance du
fluide prend de plus en plus d'importance et il arrive un moment où Fj + F2 + F3 = 0.
La particule a alors atteint sa vitesse limite de chute, ub {terminal velocity) lorsque
l’accélération devient nulle. Cette vitesse se calcule à partir de la relation précédente
TtdJ
o
nd2
/
37tdjg
C7td2pfu.2
apres avoir remplacé V par---- - et S par —- : (ps - pf )—-— =------- -------- .
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La vitesse maximale que peut prendre une particule est donc donnée par la
formule 1.76.
l4(p,-Pr)d,g
3C pf
(1.76)
Tous les paramètres peuvent être déterminés, sauf le coefficient C qui dépend
du régime d'écoulement et donc de la vitesse limite. Des études ont permis d'établir
que, dans le cas d'une sphère en mouvement, le comportement du solide à l’égard du
fluide varie selon la vitesse et donc le nombre de Reynolds de la particule, Res {cf
équation 1.26’). Pour une sphère, C = —- (b et n sont des coefficients).
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