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Chapitre 3
Dans cette expression, Bz représente la perméabilité de la couche z et le signe
négatif rappelle que la chute de pression diminue dans le sens de 1 écoulement.
Cependant, la perméabilité, Bz, n’est pas d’utilisation facile car la hauteur z
n’est pas toujours connue et varie avec le temps. Aussi, est-il préférable d utiliser la
résistance totale à l’écoulement, Rz, qui se définit par le quotient de la hauteur z par la
perméabilité et cette grandeur représente aussi l’inverse de la perméabilité spécifique,
Bs, {cf. équations 1.18 et 1.27). Elle peut également se définir à partir de la résistance
spécifique de la couche, 0^, de la masse du solide, dmz, et de la surface de filtration, A,
par l’expression 3.5 déduite des équations 1.27 et 1.28.
dR ^± = -jL = -azdmz=_azCzdv
}
z Bs
Bz
A
A
La résistance totale de la couche z est donc proportionnelle à la résistance spécifique du gâteau, ocz, à la masse du gâteau, cz dV (cz étant la concentration massique de
la suspension), et inversement proportionnelle à la surface de la couche, A. La vitesse
d’écoulement peut alors se transformer de la façon suivante en combinant les équations 3.4 et 3.5 : uz = —— —7-——-ç
Pf a rv
z
/a
De plus, l’obtention de la masse dmz de gâteau correspond à la disparition d’un
certain volume de suspension dépendant de la concentration en solide dans celle-ci :
dmz = cz dV. Cette transformation conduit finalement à l’équation de Darcy sous
forme différentielle :
u2 = —=
= l dV
(3.6)
pf dRz
pf az cz dV A dt
Pour pouvoir intégrer cette équation, il est nécessaire de connaître les termes qui
restent constants tout au long de l’opération et ceux qui varient. Cela dépend à la fois
de la nature du gâteau (incompressible ou compressible) et du type de filtration (pression constante, débit constant ou pression et débit variables). Ces divers cas seront envisagés dans le paragraphe 2.4.
232. Loi de Poiseuille
Le gâteau peut être considéré comme un milieu dense percé de pores que l'on
assimile à des capillaires parfaitement cylindriques de diamètre dp et de longueur z
(épaisseur du gâteau) {cf figure 3.4). Le liquide s'écoule par les capillaires et cet
écoulement laminaire est régi par la loi de Poiseuille.
Chapitre 3
Dans cette expression, Bz représente la perméabilité de la couche z et le signe
négatif rappelle que la chute de pression diminue dans le sens de 1 écoulement.
Cependant, la perméabilité, Bz, n’est pas d’utilisation facile car la hauteur z
n’est pas toujours connue et varie avec le temps. Aussi, est-il préférable d utiliser la
résistance totale à l’écoulement, Rz, qui se définit par le quotient de la hauteur z par la
perméabilité et cette grandeur représente aussi l’inverse de la perméabilité spécifique,
Bs, {cf. équations 1.18 et 1.27). Elle peut également se définir à partir de la résistance
spécifique de la couche, 0^, de la masse du solide, dmz, et de la surface de filtration, A,
par l’expression 3.5 déduite des équations 1.27 et 1.28.
dR ^± = -jL = -azdmz=_azCzdv
}
z Bs
Bz
A
A
La résistance totale de la couche z est donc proportionnelle à la résistance spécifique du gâteau, ocz, à la masse du gâteau, cz dV (cz étant la concentration massique de
la suspension), et inversement proportionnelle à la surface de la couche, A. La vitesse
d’écoulement peut alors se transformer de la façon suivante en combinant les équations 3.4 et 3.5 : uz = —— —7-——-ç
Pf a rv
z
/a
De plus, l’obtention de la masse dmz de gâteau correspond à la disparition d’un
certain volume de suspension dépendant de la concentration en solide dans celle-ci :
dmz = cz dV. Cette transformation conduit finalement à l’équation de Darcy sous
forme différentielle :
u2 = —=
= l dV
(3.6)
pf dRz
pf az cz dV A dt
Pour pouvoir intégrer cette équation, il est nécessaire de connaître les termes qui
restent constants tout au long de l’opération et ceux qui varient. Cela dépend à la fois
de la nature du gâteau (incompressible ou compressible) et du type de filtration (pression constante, débit constant ou pression et débit variables). Ces divers cas seront envisagés dans le paragraphe 2.4.
232. Loi de Poiseuille
Le gâteau peut être considéré comme un milieu dense percé de pores que l'on
assimile à des capillaires parfaitement cylindriques de diamètre dp et de longueur z
(épaisseur du gâteau) {cf figure 3.4). Le liquide s'écoule par les capillaires et cet
écoulement laminaire est régi par la loi de Poiseuille.