15.3 Exemples d'ondes progressives
Le gaz étant suppose parfait, on peut décrire P =
soit P = f(p).
Un développement limité donne :
P = Po + (p — Po) I
\dp
i
7
+ x(P - Po)
o 2
d2P\
9^)0 + -
Pour des variations de p relativement faibles :
P ~ Po + (p - po) dp)o
On définit le coefficient de compressibilité du gaz par :
X = Po
On obtient, en remplaçant
dP\
dp)o
dP\
dPJo
Y
par sa valeur : P ~ Po + (p - po)—
Po
Comme p - po = —po —, alors
dx
du
P - Po- X^~
dx
(15.16)
Appliquons à présent la deuxième loi de Newton à la tranche de gaz, d'épaisseur dx :
.
j
(P - P')S = SpQdx-^
Comme dP = P' — P, alors :
-dP =podx-^
ï soit
dP
d2u
I
ô * = ~pl>diï
| de 1 équation 15.16, on déduit après dérivation :
dP
d2u
dx
* dx2
(15.17)
(15.18)
Des deux relations 15.17 et 15.18, on en déduit :
d2u
d2u
d2u
po d~u
P°dï=* dT 2 °U dT2~ X dt2
(15.19)
L .a
p h c