Corrigés
2. L’équation différentielle
+ -v = ——^-g admet pour solution
ctr
t
p0
v(t) =
+
Be~'^
(12.27)
(solution particulière) (solution générale de l’équation sans second membre)
À t = 0, on a v = 0, ce qui entraîne K + B = 0, soit B = -K
d’où v(r) = K — Ke~t/r = K [1 -
.
Pour un temps infiniment long (r —> oo),
e~t/r
0
r
2 p°r~ i
Comme t =--------alors
9 TJ
et v(r) - K = vlim = T^-^-g
Po
_ 2(po - p) 2
Vm ~
9,
gr
(12.28)
3. La relation 12.28 montre que la vitesse limite est proportionnelle à r2. Ainsi,
si r augmente, vlim augmente et le temps de sédimentation diminue.
Remarque
Dans la résolution du problème, on a supposé que la trajectoire des particules
est rectiligne et selon la verticale. En réalité des études sur la sédimentation
ont montrées que la chute n’est en général pas verticale et que le temps de
sédimentation dépend du nombre de particules (donc de la concentration).
Qi Considérons un cylindre de fluide, de rayon r et de longueur L (Fig. 12.23).
l.n
p h o to c o p ie non
a u to risé e est un
d élit
La différence de pression AP = P\ - P2 entre les deux extrémités ( 1 ) et (2)
est telle que :
où S = 7rr~ représente l'aire du cylindre de rayon r et F = F\
F2 la
résultante des forces de pression.