En appliquant le théorème de Gauss, on a , = 4nr2Ej(r) =
=
Q
ATTeoR3
r3
QRÏ
—— et
fo
• Si r > R, la sphère témoin contient la charge q. q = Q.
->
Q
D’après le théorème de Gauss, d>(, = 47rr Ee(r) = —, d'où
fo
£e(r) =
1 Q
47780
Remarques :
• Le champ à l’extérieur de la sphère est le même que si on avait la même charge
Q ponctuelle placée en O.
• Pour r = R, on constate que E,(R) = Ee(R) = —-—( Continuité du champ
47780
E(r) ).
© Dunod
- La
photocopie non
autorisée
est un
délit
2. Détermination du potentiel.
dV
Le champ E(r) dérive d’un potentiel V tel que E(r) = ——,
dr
soit dV = — E(r)dr
Q
• A l’intérieur de la sphère, E,(r) = ---------rr.
477 60/?
d’où,
f
Q
Q
r2 ,
Vi(r) = —
------- T^rdr — ——.... --r — + A'i
J 4778oR3
47T€()R^ 2
1 Q
• A l’extérieur, Ee(r) = -------- r.
47780 r
D’où,
1 Q t
--------^dr =
47780 r
1 Q
4tteq r
Si on choisit V(oo) = 0, soit Ve(r) = 0 pour r —♦ oc, donc A? = 0 et
K(r) =
1 Q
4t78q r
• Pour r = R, on a Ve(R) = Vj(R) (continuité du potentiel).
Soit :
1 Q=
Q
R\k
47780 E
4776oR3 2
'
3 Q
d’où
k\ = - ------- -
2 47760 R
+ ^2