Chap. 7. Théorème de Gauss. Condensateurs. Capacité
• Si r < R la sphère témoin ne contient aucune charge, q,
0, le flux sortant est
nul, donc E(r) = 0.
Le champ à l’intérieur d’une sphère chargée en surface est nul.
• Si r > R. la sphère témoin contient la charge q,q = qe.
D’après le théorème de Gauss, = 47rr2E(r) —
d où E(r) —
r2Remarque
le champ à l’extérieur de la sphère est le même que si on avait la même charge q
ponctuelle placée en O.
1 q
a
Sur la sphère électrisée, r = R+, E(r) = -------- y = —
47760 r
Détermination du potentiel
• À l'intérieur de la sphère, E(r) = 0.
Comme E = —gradV alors V(r) = Vo = este.
Pour calculer V(), on prendra un point quelconque intérieur à la sphère.
Pour le point O, centre de la sphère, toutes les charges actives sont à la même distance
r = R.
Si l’on considère le potentiel comme nul à l’infini, alors
v«=rLE47760
G
1
_ 1 Q
4t78qR “ '
4778q R
• À 1 extérieur, les lignes de champ sont des droites issues de O et les surfaces
équipotentielles sont des sphères de centre O.
Comme E(r) = - ~ et E(r) = —1 alors,
dr
477g0 r2
V(r) = - / E(r)dr = - [ -^—^-dr = —
■/
J 4t78q 72
47780 r
Remarque
on retrouve la même valeur que celle donnée par une charge ponctuelle q placée
l.< rsqu on traverse la couche électrisée, la fonction potentiel V(r) est continue alors
que le champ E(r) subit une brusque discontinuité.