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𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝒆′ 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆 + 𝒆′ 𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 = (𝑴. 𝒈. 𝒛 + 𝒅𝒎 𝟐 . 𝒈. 𝒛 𝟐 ) + ∫
𝒅𝒎𝒗 𝟐
𝟐
𝑺 𝟐
𝑺 ′ 𝟏
+
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟐 𝒗 𝟐
𝟐
(52)
On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’ :« La variation de l’énergie
mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures ». On prendra en considération
cette fois ci le travail des forces de frottement visqueux dτ.
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 − 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝒅𝒎 𝟐 . 𝒈. 𝒛 𝟐 − 𝒅𝒎 𝟏 . 𝒈. 𝒛 𝟏 +
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟐 𝒗 𝟐
𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟏 𝒗 𝟏
𝟐
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 − 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝑾 𝒇𝒐𝒓𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 + ∑ 𝑾 𝒅𝝉 = 𝑭 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 − 𝑭 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 + ∑ 𝑾𝒅𝝉
𝒆
′
𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 - 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝑷 𝟏 𝑺 𝟏 𝒅𝒙 𝟏 − 𝑷 𝟐 𝑺 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 + ∑ 𝑾 𝒅𝝉 = 𝑷 𝟏 𝒅𝑽 𝟏 − 𝑷 𝟐 𝒅𝑽 𝟐 + ∑ 𝑾𝒅𝝉
d𝜏: forces de frottement visqueux, 𝒅𝑽 =
𝒅𝒎
𝝆
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 - 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 =
𝑷 𝟏
𝝆 𝟏
𝒅𝒎 𝟏 −
𝑷 𝟐
𝝆 𝟐
𝒅𝒎 𝟐 + ∑ 𝑾𝒅𝝉
(53)
En simplifiant on obtient :
𝒅𝒎 𝟐 . 𝒈. 𝒛 𝟐 − 𝒅𝒎 𝟏 . 𝒈. 𝒛 𝟏 +
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟐 𝒗 𝟐
𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟏 𝒗 𝟏
𝟐 =
𝑷 𝟏
𝝆 𝟏
𝒅𝒎 𝟏 −
𝑷 𝟐
𝝆 𝟐
𝒅𝒎 𝟐 + ∑ 𝑾𝒅𝝉
(54)
Par conservation de la masse : dm1 = dm2 = dm, puisque le fluide est incompressible :ρ1= ρ2 = ρ,
on aboutit à l’équation de Bernoulli :
𝒗 𝟐
𝟐 −𝒗 𝟏
𝟐
𝟐
+
𝑷 𝟐 −𝑷 𝟏
𝝆
+ 𝒈. (𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏 ) =
∑ 𝑾𝒅𝝉
𝒅𝒎
(55)
On définit la perte de charge entre les points (1) et (2) par 𝑱 𝟏𝟐 =
𝜮𝑾𝒅𝝉
𝒅𝒎
qui est la perte
d’énergie par frottement visqueux par unité de masse qui passe.
𝒗 𝟐
𝟐 −𝒗 𝟏
𝟐
𝟐
+
𝑷 𝟐 −𝑷 𝟏
𝝆
+ 𝒈. (𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏 ) = 𝑱 𝟏𝟐
(56)
L’unité de chaque terme de la relation (4) est le joule par kilogramme (J/kg)
En divisant par g la relation (4) devient homogène à des longueurs en mètre :
Avec : ϖ =ρ.g
𝐯 𝟐
𝟐
𝟐.𝐠
+
𝐏 𝟐
í µí+ 𝐳 𝟐 =
𝐯 𝟏
𝟐
𝟐.𝐠
+
𝐏 𝟏
í µí+ 𝐳 𝟏 +
𝐉 𝟏𝟐
𝐠
(57)