p. 29
=
𝑷 𝟏
𝝆 𝟏
𝒅𝒎 𝟏 −
𝑷 𝟐
𝝆 𝟐
𝒅𝒎 𝟐 + 𝑷𝒏𝒆𝒕 . 𝒅𝒕
(42)
Sachant qu’il y-a conservation de la masse : 𝒅𝒎 𝟏 = 𝒅𝒎 𝟐 = dm et puisque le fluide est
incompressible : ρ1 = ρ 2= ρ,
g. (𝒁 𝟐 − 𝒁 𝟏 ) +
𝟏
𝟐
(𝐯 𝟐
𝟐 − 𝐯 𝟏
𝟐 ) +
𝟏
𝝆
(𝑷 𝟐 − 𝑷 𝟏 ) = 𝑷𝒏𝒆𝒕.
𝒅𝒕
𝒅𝒎
= 𝑷𝒏𝒆𝒕
𝟏
𝑸𝒎
avec Qm: débit massique
On aboutit à l’équation de Bernoulli
(𝒗 𝟐
𝟐 −𝒗 𝟏
𝟐 )
𝟐
+ 𝒈. (𝒛 𝟐− 𝒛 𝟏 ) +
𝑷 𝟐 − 𝑷 𝟏
𝝆
=
𝑷𝒏𝒆𝒕
𝑸𝒎
(43)
Exercices d’applications de la loi de Bernoulli pour un écoulement sans échange de travail.
Application 1) - Si on considère un liquide qui a une vitesse d’écoulement nulle
↔ 𝑣 𝐴 = 𝑣 𝐵 = 0
Donc 𝑃 𝐴 + 𝛒. 𝐠 𝑍 𝐴 = 𝑃 𝐵 + 𝛒. 𝐠 𝑍 𝐵 ↔ (𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐵 = 𝛒. 𝐠 ( 𝑍 𝐴 − 𝑍 𝐵 )
𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝑙
′ ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑢 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
Donc on constate que la loi de Bernoulli est une version plus générale de la loi de
l’Hydrostatique.
**-la loi de l’Hydrostatique, s’applique quand le fluide est immobile.
- la loi de Bernoulli, s’applique quand le fluide est en mouvement et immobile
Application 2) -Si on considère 𝑣 𝐴 = 𝑣 𝐵 ≠ 0 le liquide est en mouvement mais avec
une vitesse égale d’un côté et de l’autre :
𝟏
𝟐
𝝆 𝒗 𝑨
𝟐 + 𝑃 𝐴 + 𝛒. 𝐠 𝑍 𝐴 =
𝟏
𝟐
𝝆 𝒗 𝑩
𝟐 + 𝑃 𝐵 + 𝛒. 𝐠 𝑍 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝛒. 𝐠 𝑍 𝐴 = 𝑃 𝐵 + 𝛒. 𝐠 𝑍 𝐵
Puisque 𝑣 𝐴 = 𝑣 𝐵
𝑑𝑜𝑛𝑐
(𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐵 = 𝛒. 𝐠 ( 𝑍 𝐴 − 𝑍 𝐵 ): loi de l’hydrostatique
III.5. Applications des règles qui régissent la dynamique des fluides parfaits
III.5.1 : 1
ère
application : effet Venturi
On considère l’écoulement d’un fluide incompressible dans une canalisation où l’on a un