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* On désigne par F1 et F2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant
au niveau des sections S1 et S2.
* l’axe Z verticale : dirigé vers le haut
*Z1, Z2 et Z les altitudes des centres de gravité des masses dm1, dm2 et M
*M : masse de fluide comprise entre S’1 et S’2
- A l’instant « t’»: le fluide de masse (dm1+M) compris entre S1 et S2 ,il va quitter S1 , va
passer par S’1 et va arriver jusqu’à la section S2.
Son énergie mécanique est :
𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝒆 𝒄 + 𝒆 𝒑
(37)
𝐞 𝐦é𝐜𝐚𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞 = (𝐝𝐦 𝟏 . 𝐠. 𝐳 𝟏 + M.g.z) +(
𝟏
𝟐
𝐝𝐦 𝟏 𝐯 𝟏
𝟐 + ∫
𝐝𝐦𝐯 𝟐
𝟐
𝐒 𝟐
𝐒 ′ 𝟏
)
(38)
(∫
𝒅𝒎𝑽 𝟐
𝟐
𝑺 𝟐
𝑺 ′ 𝟏
) : la somme des différentes masses élémentaires qui vont traverser S’1 et arriver
jusqu’à S2.
- A l’instant « t’= (t+dt)» : le fluide de masse (M + dm2) compris entre S’1 et S’2 ,il va quitter
S’1 , va passer par S’1 et va arriver jusqu’à la section S2qu’il traverse et arrive à S’2
Son énergie mécanique est :
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝒆′ 𝒄 + 𝒆′ 𝒑
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = (𝐌. 𝐠. 𝐙 + 𝒅𝒎 𝟐 𝒈𝒁 𝟐 ) +( ∫
𝒅𝒎𝒗
𝟐
𝑺 𝟐
𝑺 ′ 𝟏
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟐 𝒗 𝟐
𝟐 )
On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre t et t’:
« La variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures »,
en considérant cette fois ci le travail de la machine hydraulique
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 - 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝑾 𝒇𝒐𝒓𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 = 𝑭 𝟏 𝒅𝒙𝟏 − 𝑭 𝟐 𝒅𝒙𝟐 + 𝑷𝒏𝒆𝒕 . 𝒅𝒕 (39)
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 - 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝑾 𝒇𝒐𝒓𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏 = 𝑭 𝟏 𝒅𝒙𝟏 − 𝑭 𝟐 𝒅𝒙𝟐 + 𝑷𝒏𝒆𝒕 . 𝒅𝒕
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 - 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 = 𝑷 𝟏 𝑺 𝟏 𝒅𝒙𝟏 − 𝑷 𝟐 𝑺 𝟐 𝒅𝒙𝟐 + 𝑷𝒏𝒆𝒕 . 𝒅𝒕
= 𝑷 𝟏 𝒅𝑽 𝟏 − 𝑷 𝟐 𝒅𝑽 𝟐 + 𝑷𝒏𝒆𝒕 . 𝒅𝒕
𝒆′ 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 - 𝒆 𝒎é𝒄𝒂𝒏𝒊𝒒𝒖𝒆 =
𝑷 𝟏
𝝆 𝟏
𝒅𝒎 𝟏 −
𝑷 𝟐
𝝆 𝟐
𝒅𝒎 𝟐 + 𝑷𝒏𝒆𝒕 . 𝒅𝒕
(40 )
*∗ P 1 S 1 et P 2 S 2 : force de pression
𝒅𝒎 𝟐 . 𝒈. 𝒁 𝟐 +
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟐 𝐯 𝟐
𝟐 − 𝒅𝒎 𝟏 . 𝒈. 𝒁 𝟏 ) −
𝟏
𝟐
𝒅𝒎 𝟏 𝐯 𝟏
𝟐
(41)