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S 1 . 𝒗 𝟏 = S 2 . 𝒗 𝟐 : Équation de continuité
(33)
III.4. Théorème de Bernoulli
Le flux d’un fluide, une accélération se produit simultanément avec la diminution de la pression,
par conséquent il y-a conservation d’énergie.
III.4.1 : Cas d’un écoulement sans échange de travail
Lorsqu’une particule d’eau se déplace à une vitesse 𝒗, elle est soumise à différents types
d’énergies :
- L’énergie cinétique : =
1
2
𝑚𝑣
2
- L’énergie potentielle : = 𝑚𝑔𝑧 et
- L’énergie liée à la pression statique : P
Comme on considère un volume de fluide, on va raisonner sur les énergies par unité de volume.
→ On considère les énergies volumiques
→ Au lieu de considérer une masse on considère une masse volumique.
𝟏
𝟐
𝒎. 𝒗
𝟐 ≡
𝟏
𝟐
𝝆. 𝒗
𝟐
: Énergie volumique cinétique : 𝒆 𝒄
m. g. z ≡ 𝝆. 𝒈. 𝒛: É𝐧𝐞𝐫𝐠𝐢𝐞 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐥𝐥𝐞 𝐝𝐞 𝐩𝐞𝐬𝐚𝐧𝐭𝐞𝐮𝐫 : 𝒆 𝒑
P: É𝐧𝐞𝐫𝐠𝐢𝐞 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐢é𝐞 à 𝐥𝐚 𝐩𝐫𝐞𝐬𝐬𝐢𝐨𝐧: 𝒆 𝒑𝒓
Soit la formule de Bernoulli :
𝟏
𝟐
𝝆. 𝒗
𝟐 + 𝝆. 𝒈. 𝒛 + 𝑷 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Où
𝜌: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 (
𝐾𝑔
𝑚 3 ), 𝑣: 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 (
𝑚
𝑠
), g : 9,8 (m2/s
2
)
𝑧: 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑑é𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 / à la verticale en (m), P: pression statique en Pascal(Pa)
L’énergie volumique totale « 𝒆 𝒕 » à l’altitude « z », à la vitesse « v » et la pression « P ».
est alors définie par :
𝒆 𝒕 = 𝒆 𝒄 + 𝒆 𝒑 + 𝒆 𝒑𝒓
(32)
L’effet Bernoulli décrit une diminution de pression dans un rétrécissement de conduite :
Au passage dans un rétrécissement la vitesse du fluide augmente, donc, son énergie "𝒆 𝒄 ", doit
augmenter aux dépens de l’énergie des pressions "𝒆 𝒑𝒓 " :
Quand un fluide accélère, une dépression apparait ↔ 𝒄
′ 𝒆𝒔𝒕 𝒍
′ 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕 𝑽𝒆𝒏𝒕𝒖𝒓𝒊𝒆
Pour un fluide parfait incompressible, l’énergie volumique totale se conserve