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III.3. Equation de continuité
Considérons une veine d’un écoulement permanent d’un fluide incompressible de masse
volumique ρ dans une conduite
Avec :
- S1 et S2 : respectivement la section d’entrée et la section de sortie du fluide à l’instant t,
- S’1 et S’2 : respectivement les sections d’entrée et de sortie du fluide à l’instant t’=(t+dt),
- V 1 et V 2 : les vecteurs vitesses d’écoulement à travers les sections S1 et S2 de la veine,
- dx1 et dx2 : les déplacements des sections S1 et S2 pendant l’intervalle de temps dt,
- dm1 : masse élémentaire entrante comprise entre les sections S1 et S’1,
- dm2 : masse élémentaire sortante comprise entre les sections S2 et S’2,
- M : masse comprise entre S1 et S2,
- dV1 : volume élémentaire entrant compris entre les sections 𝑺 𝟏 . et 𝑺′ 𝟏 ,
- dV2 : volume élémentaire sortant compris entre les sections 𝑺 𝟐 . et 𝑺′ 𝟐 ,
A l’instant t : le fluide compris entre S1 et S2 a une masse égale à (dm1+ M)
A l’instant t+dt : le fluide compris entre S’1 et S’2 a une masse égale à (M+ dm2).
Par conservation de la masse :
dm1 + M = M + dm2 ↔ dm1 = dm2 ↔ ρ1.dV1 = ρ2.dV2 ou encore ρ1.S1dx1 = ρ2.S2dx2
En divisant par dt on aboutit à :
𝝆 𝟏 . 𝑺 𝟏 .
𝒅𝒙 𝟏
𝒅𝒕
= 𝝆 𝟐 . 𝑺 𝟐 .
𝒅𝒙 𝟐
𝒅𝒕
( 30)
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒗𝒊𝒕𝒆𝒔𝒔𝒆 = 𝒗
(31)
𝒒 𝒎 = 𝛒 𝑺 𝟏 (𝒗 𝟏 ) = 𝛒 𝑺 𝟐 (𝒗 𝟐 )
(32)
Puisque c’est le même fluide qui circule dans la conduite dans un intervalle de temps dt
↔ρ1 = ρ2 = ρ On peut simplifier et aboutir à