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Etudions l’équilibre du cylindre élémentaire :
Cet élément de volume est soumis aux :
-Action mécanique à distance (1) : son poids :
𝒅𝑷 𝟎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒈 = − 𝛚 ̅ . 𝒍 .
⃗⃗⃗ 𝒅𝒔 (13)
avec 𝑙
⃗⃗⃗ = 𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝛼
-Action de contact (2) : forces de pressions s’exerçant sur la surface latérale ∑ 𝑑𝐹 𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
Les 𝑑𝐹 𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗ s’annulent entre elles car elles sont à la même altitude que les faces opposées
-Action sur les deux surfaces planes extrêmes (3) 𝑑𝐹 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃 1 𝑑𝑠(−𝑢) ⃗⃗⃗⃗ , 𝑑𝐹 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃 2 𝑑𝑠(𝑢) ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝 1 𝑑𝑠(𝑢) ⃗⃗⃗⃗ et 𝑑𝐹 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑃 2 𝑑𝑠 𝑢 ⃗
Pour que cet élément soit en équilibre ; la résultante des forces qui lui sont appliquées doit être
nulle :
𝑑𝑃 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ∑ 𝑑𝐹 𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑑𝐹 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐹 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗
(14)
En projection sur l’axe de symétrie du cylindre :
- ω ̅. 𝒍. 𝒄𝒐𝒔𝜶. 𝒅𝒔. +𝟎 + 𝑷 𝟏 𝒅𝒔 −𝑷 𝟐 𝒅𝒔 = - ω ̅. . 𝒍. 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝟎 + 𝑷 𝟏 −𝑷 𝟐 = 𝟎
Donc 𝑷 𝟏 −𝑷 𝟐 = ω ̅. (𝒁 𝟐 − 𝒁 𝟏 ) : Relation fondamentale de l’hydrostatique
𝑷 𝟏 −𝑷 𝟐 = 𝝆. 𝒈
̅̅̅̅̅. (𝒁 𝟐 − 𝒁 𝟏 ) (15)
Remarque ; nous constatons bien que cette relation nous permet de calculer une différence de
pression entre deux points et non pas la pression en un point particulier.
En divisant les deux membres de l’équation précédente par (ω ̅) elle devient
𝑷 𝟏
ω ̅
+ 𝒁 𝟏 =
𝑷 𝟐
ω ̅
+ 𝒁 𝟐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
(16)
Donc en un point quelconque d’altitude Z où règne la pression P :
𝑷
ω ̅
+ 𝒁 =
𝑷
𝝆.𝒈
+ 𝒁 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
(17)