Philippe GROS L'espace dans les modèles de dynamique des populations
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prévisions à long terme des deux modèles ; dans le cas contraire, l'utilisation de l'équation de Fisher
aboutirait à surestimer le taux d'expansion de la population. Au plan des applications, on retiendra qu'en
se limitant aux exemples "réels" qu'elle a étudiés (populations d'Insectes et d'Oiseaux, propagation
d'épidémies), E.E. Holmes conclut que les deux modèles prévoient des taux d'expansion spatiale quasiidentiques, et qu'il n'est par conséquent pas utile de compliquer le modèle de réaction-diffusion simple 40 .
* Jusqu'ici, on s'est principalement intéressé à l'évolution temporelle de l'aire occupée par une
population, un résultat typique étant le front de propagation de l'état stationnaire stable. La diffusion
biologique peut aussi être envisagée en s'adressant à un objectif différent, tel celui de la modélisation
des groupes "assez longtemps durables" comme les bancs monospécifiques (e.g., de poissons) ; pour
pouvoir être considérée comme satisfaisante, la modélisation d'un banc en mouvement doit produire
non pas un front d'onde, mais une bande qui se déplace en maintenant une densité constante en son
centre, et aussi en conservant sa cohésion sur ses marges (le banc ne doit pas se désagréger en
"laissant derrière lui" une trace formée d'individus qui s'en détachent). A. Mogilner & L. EdelsteinKesher 41 ont récemment étudié quels sont les "ingrédients" d'un modèle intégro-différentiel de
réaction-diffusion-advection qui permettent de satisfaire ces contraintes. En premier lieu, ils montrent
que pour obtenir un profil "réaliste" (i.e., densité stable au centre, nette rupture de densité sur les
marges), la densité-dépendance de la répulsion entre individus doit être plus forte que celle de leur
attraction mutuelle. En ce qui concerne le déplacement du banc, reprenons ici l'une des formulations
que ces auteurs exposent ; pour simplifier, on va négliger le terme de réaction (autrement dit,
supposer un groupe immortel d'individus donné par les conditions initiales) et se placer en espace
unidimensionnel, i.e.,
∂ ν
∂
ν ∂ ν
∂
ν ν
t
x
x
diffusion
x
advection
densit é dépen da n t es
K
u
=
−
−
[ ( )
]
[ ( ) ]
1 2
4 4
3
44
1 2
4 3
4
1
2
4444 4
3
44444
avec :
u
A A
T
a
r
T
T x
t d
( )
(
)(
)
(
) ( , )
ν
ν
ν
ν
ν
ξ ν ξ
ξ
vitesse densité-dépendante du mouvement advectif
=
+
−
∗
∗ ≡ ∫
−
a
1
2
44444 4
3
444444
Les coefficients positifs A a et A r désignent respectivement l'attraction et la répulsion entre les individus
du banc ; le noyau de convolution T, impair, est défini par :
T y
y
y
y
( )
( ( ))
( )
=
−
− ≤ ≤
>
1 2
0
ρ
ρ
ρ
ρ
sign
où ρ désigne la portée spatiale des interactions ;
des expressions plus élaborées font intervenir des
portées différentes pour l'attraction et la répulsion.
Mogilner & Edelstein-Kesher établissent dans ces conditions qu'à une dérive de vitesse constante
a.A a /A r se superpose un déplacement du banc conforme aux contraintes précédemment définies, à
condition que la diffusion soit densité dépendante (e.g., simplement K(ν) = K.ν) et qu'elle demeure
suffisamment faible.
40 : cette conclusion pragmatique n’est bien sûr pas exclusive de développements propres au modèle de
dispersion corrélée ; c’est en particulier le cas de l’étude des "instabilités diffusionnelles", abordées au
paragraphe suivant dans le cas de la diffusion simple. Les conditions d’apparition de ce phénomène ont aussi
été caractérisées pour la dispersion corrélée, cf. par exemple K.P. Hadeler, pp. 95-150 in : Mathematics
Inspired by Biology, V. Capasso & O. Diekmann (Eds.), Springer, 268 p., (1999), ou encore T. Hillen, J.
Math. Biol. 35(1) : 49-72 (1996).
41 : A non-local model for a swarm, J. Math. Biol. 38(6) : 534-570 (1999).
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prévisions à long terme des deux modèles ; dans le cas contraire, l'utilisation de l'équation de Fisher
aboutirait à surestimer le taux d'expansion de la population. Au plan des applications, on retiendra qu'en
se limitant aux exemples "réels" qu'elle a étudiés (populations d'Insectes et d'Oiseaux, propagation
d'épidémies), E.E. Holmes conclut que les deux modèles prévoient des taux d'expansion spatiale quasiidentiques, et qu'il n'est par conséquent pas utile de compliquer le modèle de réaction-diffusion simple 40 .
* Jusqu'ici, on s'est principalement intéressé à l'évolution temporelle de l'aire occupée par une
population, un résultat typique étant le front de propagation de l'état stationnaire stable. La diffusion
biologique peut aussi être envisagée en s'adressant à un objectif différent, tel celui de la modélisation
des groupes "assez longtemps durables" comme les bancs monospécifiques (e.g., de poissons) ; pour
pouvoir être considérée comme satisfaisante, la modélisation d'un banc en mouvement doit produire
non pas un front d'onde, mais une bande qui se déplace en maintenant une densité constante en son
centre, et aussi en conservant sa cohésion sur ses marges (le banc ne doit pas se désagréger en
"laissant derrière lui" une trace formée d'individus qui s'en détachent). A. Mogilner & L. EdelsteinKesher 41 ont récemment étudié quels sont les "ingrédients" d'un modèle intégro-différentiel de
réaction-diffusion-advection qui permettent de satisfaire ces contraintes. En premier lieu, ils montrent
que pour obtenir un profil "réaliste" (i.e., densité stable au centre, nette rupture de densité sur les
marges), la densité-dépendance de la répulsion entre individus doit être plus forte que celle de leur
attraction mutuelle. En ce qui concerne le déplacement du banc, reprenons ici l'une des formulations
que ces auteurs exposent ; pour simplifier, on va négliger le terme de réaction (autrement dit,
supposer un groupe immortel d'individus donné par les conditions initiales) et se placer en espace
unidimensionnel, i.e.,
∂ ν
∂
ν ∂ ν
∂
ν ν
t
x
x
diffusion
x
advection
densit é dépen da n t es
K
u
=
−
−
[ ( )
]
[ ( ) ]
1 2
4 4
3
44
1 2
4 3
4
1
2
4444 4
3
44444
avec :
u
A A
T
a
r
T
T x
t d
( )
(
)(
)
(
) ( , )
ν
ν
ν
ν
ν
ξ ν ξ
ξ
vitesse densité-dépendante du mouvement advectif
=
+
−
∗
∗ ≡ ∫
−
a
1
2
44444 4
3
444444
Les coefficients positifs A a et A r désignent respectivement l'attraction et la répulsion entre les individus
du banc ; le noyau de convolution T, impair, est défini par :
T y
y
y
y
( )
( ( ))
( )
=
−
− ≤ ≤
>
1 2
0
ρ
ρ
ρ
ρ
sign
où ρ désigne la portée spatiale des interactions ;
des expressions plus élaborées font intervenir des
portées différentes pour l'attraction et la répulsion.
Mogilner & Edelstein-Kesher établissent dans ces conditions qu'à une dérive de vitesse constante
a.A a /A r se superpose un déplacement du banc conforme aux contraintes précédemment définies, à
condition que la diffusion soit densité dépendante (e.g., simplement K(ν) = K.ν) et qu'elle demeure
suffisamment faible.
40 : cette conclusion pragmatique n’est bien sûr pas exclusive de développements propres au modèle de
dispersion corrélée ; c’est en particulier le cas de l’étude des "instabilités diffusionnelles", abordées au
paragraphe suivant dans le cas de la diffusion simple. Les conditions d’apparition de ce phénomène ont aussi
été caractérisées pour la dispersion corrélée, cf. par exemple K.P. Hadeler, pp. 95-150 in : Mathematics
Inspired by Biology, V. Capasso & O. Diekmann (Eds.), Springer, 268 p., (1999), ou encore T. Hillen, J.
Math. Biol. 35(1) : 49-72 (1996).
41 : A non-local model for a swarm, J. Math. Biol. 38(6) : 534-570 (1999).