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(10;10)
(202 0)
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I
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1' '
\:.:.:: ... __ _
0 .0
0.5
1.0
Figure 29.9 - Densités.
4. LOI BÊTA Beta(n;p)
a) Définition
Fiche 29 • Lois continues
o r-------:;- , :: _-:;~=;::::=:-i
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0 .5
(np )
-
(t ;1)
- - (5;5)
- <·~~~ 11
- - (20~
1.0
Figure 29.10 - Fonctions de répartition.
Soit /1 > 0 e t p > O. Une variable aléatoire X à valeurs dans (O; 1) suit la loi bêta de paramètres
11 et p, notée Beta(11; 11), si X est une variable continue et admet pour densité de probabilité, voir
Figures 29.9 e t 29.11 , la fonction fx suivante:
{
_ 1 _,,._,(I - r)P- '
fx(r) = gc11: 11)
T(11)T(p)
où 8(11; 11) = - r ( ) qui est la fonction bêta.
Il+ /1
b) Propriétés
pour
0 .;; T.;; 1
sinon,
1. La fonction de répartition de la loi bêta Beta(11; 11) n'a pas de forme explicite. Par exemple,
les Figures 29.10 e t 29.12 montrent le graph e de la fonction de répartition de diverses lois
bêtas .
.,
,
0
1
(n;p )
,
(n;p)
,
(8;8)
,
~
(8;8)
'
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(8;3)
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(8;3)
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0
0 .0
0.5
1.0
0 .0
0 .5
1.0
Figure 29.11 - Densités.
Figure 29.12 - Fonctions de répartition.
2. L'espérance e t la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi bêta Beta(n; 11) sont
égales respectivement à : IB(X) = ,,:P e t V ar( X)= v••P;;~••Pr .
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