b) Propriétés
1. La fonction de répartition de la loi exponentielle 8(11) est égale à
F ( )-{l-exp(-1lt) si
X X -
0
si
x;;. 0
x.; 0.
Fiche 29 • Lois continues
Par exemple, la Figure 29.4 montre le graphe de la fonction de répartition de lois exponentielles.
~
~
"' 0
" 0
"' 0
g
Remarque
- 1
' '
; ,
. ,
!·
0
:
Figure 29.4- Fonctions de répartition.
Il est préférable de travailler avec la fonction de survie qui est définie par rx(x) = 1 - Fx(x) =
P (X >X).
2. L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle 8(11) sont
égales respectivement à : IB(X) = ~ et Var( X) = ;Ir.
3. LOI GAMMA r(r; A)
La loi exponentielle est un cas particulier d'une famille de lois appelées lois gamma.
a) Définition
Soit r > 0 et À > O. Une variable aléatoire X à valeurs dans (O; +oo( suit la loi gamma de paramètres r et ;l, notée T(r; À), si X est une variable continue et admet pour densité de probabilité,
voir Figures 29.5 et 29.7, la fonction fx suivante:
{ il' r- 1
f;()
{
- 1 exp(-Ar)
X l = T(r)
0
pour r;;. 0
pour r < 0,
où T(r) = i . . . . r- 1 exp(-1)d1 est la fonction gamma d'Euler.
()
Remarque
Pour r = 1, r(l; A) coïncide avec la loi exponentielle t(A).
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