Fiche 28 • Lois dérivées de la loi normale
b) Propriétés
1. La fonction de répartition ne s'explicite pa~. Cependant, il existe des tables de la fonction
de répartition ou une fonction ad hoc dans les logiciels statistiques.
Remarque
La Figures 28.4 montre le graphe de la fonction de répart it ion pour différentes valeurs du paramètre n .
q
0
0
...
0
"!
0
q
n = 1
n=2
n=5
N(0:1)
/ ~: ;~ .. r:":":
,,,
/1,"
{;
0 '--,-~~~~~~~~~~~~~~--,--'
- 4
-2
0
2
4
Figure 28.4- Fonctions de répartition.
2. L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X suivant la loi de Student 1(11) sont
égales respectivement à :
Remarques
si /1 ;;. 2 JB(X) = 0
si 11;;. 3 Var(X) = -
11
- ·
11-2
a. Le fait que l'espérance mathématique est nulle est évident puisque fx est une fonction paire.
b. La variance vaut 3 dès qu'elle est définie (n = 3) et tend vers 1 quand n _. +co.
c. Pour être plus précis, l'allure de la loi de Student est similaire à celle de la loi normale centréerédui te avec un étalement un peu plus fort.
3. Soit une variable aléatoire U qui suit la loi normale N(O; 1) et X une variable aléatoire qui
suit indépendamment de U la loi du Khi-deuxx2(11). Alors la variable aléatoire
T = _!!_
" VXiïi
suit la loi de Student 1(11).
4. Pour /1 = 1, la loi est la loi de Cauchy. La loi de Cauchy est en fait la loi du rapport de
deux variables qui suivent c hacune indépendamment la loi normale N(O; 1).
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