Fiche 28 • Lois dérivées de la loi normale
Remarque
La Figures 28.2 montre le graphe de la fonction de répartition pour différentes valeurs du paramètre p .
Figure 28.2 - Fonctions de répartition.
2. L" espérance et la variance d"une variable aléatoire X suivant la loi du Khi-deux,t2(p) sont
égales respectivement à :
IB(X) = I' et Var(X) = 21'·
3. Soit X 1 , ... ,X,, une suite de variables aléatoires indépendantes et identiq uement d istribuées
qui suit la loi normaleN(O; 1). Alors la variable aléatoire l:f= 1 Xf suit la loi du Khi-de ux
,t2(11).
4. Soit une variable aléatoire X 1 qui suit la loi du Khi-de ux,t2(11 1 ) et X2 une variable aléatoire
qui suit indépendamment de X 1 la loi du Khi-de ux,t2(112). Alors la variable aléatoire X 1 +X2
suit la loi du Khi-deux,t2(111+112).
c) Exemple: d'après un sujet de concours de Pharmacie
Soit X la variable aléatoire d'ensemble fondamenttal nt• et donc une densité de probabilité fx est
égale à:
f' exp(-~)
fx(l) =
2
,,. 111 ! , T;;. 0.
1. Identifions la variable aléatoire X.
Il résulte de la définition que X suit la loi dm Khi-deux à 211 + 2 degrés de liberté.
2. Calculons les moments d'ordre 1et2 de X.
• Le moment d'ordre 1 de X n'est rien d'autre que l'espérence mathématiq ue et par conséquent est égal à 211 + 2.
• Pour calculer le moment d'ordre 2 de X, nous allons nous servir de la relation Var(X) =
IB(X2) - JB 2 (X). Par conséquent, nous avons :
IB(X 2 ) = 2(211 + 2) + (211 + 2) 2 = (211 + 2)(211 + 4) = 4(11 + 1 )(11 + 2).
3. Nous c hoisissons /1 = 5. Déterminons les deux nombres x 1 et X2 tels que : ll'x((O; x 1 )) =
ll' x([x2; +oo() = 0,050.
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