Fiche 27 • Loi normale ou de Laplace-Gauss
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Figure 27.2 - Fonctions de répartition.
4. La fonction génératrice des moments de la loi normaleN(O; 1) est égale, pour tout r E IR, à:
gx(r) = IB(exp(rX)) =exp(~).
Remarques
a. gx est une fonction paire, ce qui a pour conséquence que les coefficients d'ordre impair dans
und éveloppement en série entière sont nul:s.
b. gx est uti lisée pour calcul er les moments d'ordre n. En effet gx est développable en série
entière pour tout t réel. Ainsi le coefficient de t"/ n! dans le développement de gx autour de 0
donne le moment d'ordre n .
S. Nous avons, pour tout 11 E N :
et
6. Le coefficient d'a~ ymé trie de la loi normale N(O; 1) est nul.
7. Lecoefticientd'aplatissemenc de la loi normaleN(O; 1) est égal à 3.
2. LA LOI NORMALE DE PARAMÈTRESµ ET u
a) Définition
Soitµ E IReta > O. Une variable aléatoire X à valeursdans lR suit la loi non nale de par a mètresµ
et u, notée N(µ ;u), si X est une variable continue et admet pourdensitéde probabilité la fonce ion
/ µ. 1
( 1 (' -µ)2)
fµ .a (l) = V2rur2 exp - 2 -;;:- • pour tout r E JR.
Remarque
Il faut soul igner que nous notons ici la loi normale N(µ; u ) et non N(µ; o-2). En effet, en statistique,
nous aimons avoir des quantités comparables et par conséq uent nous utilisons l'écart -type u et non la
variance u 2 . Ainsi les deux paramètres sont exprimés dans la même unité. Il fau dra donc faire attention
à la notation utilisée dans les livres et dans les logiciel s.
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