27 Loi normale ou de Laplace-Gauss
Mots clés --------------------------------~
Loi normale, loi normale centrée-réduite, fonction génératrice des m oments de la loi n ormale
centrée-réduite, f onction de répart it ion d'une loi normale., somme de variables aléatoires
indépendantes d istribuées suivant des lois normales.
1. LA LOI NORMALE CENTRÉE·RÉDUITE
a) Définition
Une variable aléatoire X à valeurs dans IR suit la l oi normale centrée-réduite, notéeN(O: 1), si
X est une variable continue et admet pour densité de probabilité la fonction fx suivante :
fx(r)= ~exp(-~). pour tout T E IR.
b) Propriétés de la loi normale centrée-réduite
1. Le graphe de fx a l'allure d'une courbe en cloche assez aplatie. Voir la courbe noire de la
Figure 27.1 .
v ~--------------~
0
(")
0
-6
-4
-2
0
•'
' '
2
Figure 27.1 -Densités.
4
6
2. La fonction de répartition de la loi normale N(O: 1 ), notée généralement, est égale à:
(x) = . ~ J~ exp(-~) dr, pour tout x E IR.
Le graphe de a l'all ure d'une courbe en Sassez étalée et est symétrique par rapport au
point (0, 1/2) et la pente de la tangente en ce point est 1/ Vïïr. Voir la courbe noire de la
Figure 27.2.
3. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N(O; 1). Nous avons : IB(X) = 0 et
Var(X) = 1. C'est la raison pour laquelle la loi est appelée centrée-réduite et est notée
N(O ;I).
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