Fiche 26 • Variables aléatoires continues
b) Indépendance mutuelle d'une famille de variables aléatoires discrètes
1. Si l'ensemble K est fini, les variables aléatoires (Xk )w < sont dites mucuellementt indépendances lorsq ue pour cout ( xk)k Il' (n(X k . ; ; xk)) = n l l ' ((X k . ; ; xk] ).
kEi. K
J..~ K
2. La famille (Xkh indépendances.
T héorème : Si les variables aléatoires X 1 , ••• ,X,, sont mutuellement indépendances alors pour
cou ces les fonctions ~ec l/t définies ec continues sauf en un nombre fini de points respectivement de
(X,, ... ,Xp)(Q) ec de (Xp+i. ... , X,,)(Q), les varial>les aléatoires ~(X,, ... , X p) ec l/t(Xp+,, ... , X,,)
sont indépendances.
c) Indépendance deux à deux d'une famille de variables aléatoires
Les variables aléatoires (Xkl k ec Xi sont indépendances.
Remarque
L'indépendance mutuelle implique l'indépendance deux à deux. La réciproque n'est pas vraie .
4. SOMME ET COVARIANCE DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES
a) Somme de deux variables aléatoires
Définition : Soie X ec Y deux variables aléatoires indépendances ec de densité fx ec gy. Si la
fonction Ir suivante
lr(x) = [
fx(r)gy(x - r) dr.
est définie ec continue sauf peuc-êcre en un nombre fini de valeurs de IR, alors Ir est une dens ité de
X+ Y.
Proposition
1. Si deux variables aléatoires X ec Y one une variance alors XY admet une espérance.
2. Si deux variables aléatoires X ec Y one une espérance ec sont indépendances alors XY admet
une espérance qui est égale à :
IB(XY) = IB(X)IB(Y).
b) Covariance de deux variables aléatoires
Définition : Soit X ec Y deux variables aléatoires ayant une variance. La covariance de X et de
Y est le nombre réel défi ni par :
Cov(X, Y)= IB((X -IB(X))(Y - IB(Y))).
Proposition : Soie X ec Y deux variables aléatoires ayant une variance. Nous avons :
C ov(X,X) = Var(X) ec C ov(X, Y)= C ov(Y,X).
Définition : Nous disons que deux variables aléatoires X et Y ayant une variance ne sont pas
corrélées si C ov(X, Y) = O.
Propriétés : Soie X ec Y deux variables aléatoires ayant une variance.
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