Fiche 26 • Variables aléatoires continues
d) Variance
Nous disons que X a dmet une variance lorsque X admet un moment centré d'ordre 2. Nous
appelons alors variance d e X la valeur
Var(X) = B (CX-µ)
2 ).
Nous la notons également a2 ou ~ s'il y a plusieu rs variables aléatoires à distinguer.
T héorème : X ad mec une variance si ec seulement si X2 admet une espérance mathématique. La
fonnule de Huygens est alors valable :
Propri été : Pour cous réels a ec bec pour cou ce variable aléatoire X admettant une variance, nous
avons:
Var(aX + b) = a
2 Var(X).
e) Écart-type
Nous appelons écart-type de X la valeur ·-./Var( X), notée f) Vocabulaire
• Si IB(X) = 0, alors X est une vari able aléatoire centrée.
• Si Var(X) = I, alors X est une variable a léatoire réduite.
• Si X admet une variance non nulle, la variable X'
r éduite associée à X.
g) Fonction génératrice des moments
X - µ est appelée varia ble centrée Considérons la fonction gx(r) = IB (exp(rX)) de la variable réelle T définie pour l'ensemble des
valeurs de T pour lesq uelles IB (exp(rX)) < +oo. gx(I) est la fonction génératri ce des moments de
la varia ble aléatoire continue X lorsqu 'elle est définie dans un voisinage de l'origine.
Propri été: Le moment d'ordre r de X est donné par:
µ, = g~)(O) où g~\0) est la dérivée d'ordre r de gx.
3. INDÉPENDANCE DE VARIABLES ALÉATOIRES, CAS GÉNÉRAL
a) Indépendance de deux variables aléatoires X et Y
Deux variab les a léatoir es X et Y, discrètes ou continues, sont dites indépendantes lorsq ue pour
cout (x, y) E llt 2 :
ll'((X ~ x) n (Y~ y))= ll'((X ~ x))ll'((Y ~y)).
Propri été: Si X ec Y sont indépendances et g ec/r sont deux fonctions à valeurs réelles définies ec
continues smL f en un nombre fini de points respectivement de X(Q) ec de Y(Q), alors g(X) ec /r(Y)
sont deux variables aléatoires indépendances.
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